mostrar la función cuadrática $W(x_1,x_2,\ldots,x_n)=A\sum_{i} x_i^2+ \sum_{i\neq j} x_ix_j$ es cuasi-cóncava

Question

Tengo una función cuadrática $W(x_1,x_2,\ldots,x_n)=A\sum_{i} x_i^2+ \sum_{i\neq j} x_ix_j$ con $x_i$ no negativo y $A \in[0,1)$ . Y con la ayuda de la gente podemos normalizar $x_i's$ entre 0 y 1. En forma cuadrática, es $W(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TMX$ , donde $$M=\begin{bmatrix} A & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & A & 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & A \end{bmatrix}.$$ Quiero demostrar que es cuasi-cóncava. Primero he comprobado $W$ no es cóncava ni convexa como $M$ es indefinido. Luego miro la matriz hessiana de borde, pero el cálculo de los determinantes de los menores del principio principal son un lío. Hay un hecho: si una función es cuasi-cóncava y homogénea, la relación de las derivadas parciales son no crecientes en la relación de las variables correspondientes. Mientras que aquí la función $W$ satisface la condición, pero ésta es una condición necesaria para que sea cuasi-cóncava, ¿existe una condición suficiente correspondiente de esta manera, en la otra dirección? En general, ¿hay alguna otra forma de comprobar la cuasi-concavidad?

La función monótona (de una sola variable) es cuasi-cóncava. Mientras que, no existe una definición común de monotonicidad para las funciones multivariables, porque $R^n$ no está totalmente ordenado para $n>2$ . Si utilizo la siguiente definición proporcionada por Clement C. en otro post Monotonicidad de la función de dos variables : $f$ se dice que monótono (no decreciente) si para todo fijo $(x, y),(x', y') \in \mathbb{R}^2$ , $$(x \leq x' \text{ and } y \leq y' ) \Rightarrow f(x,y) \leq f(x',y')$$ (es decir, monotonicidad con respecto a un orden parcial en $\mathbb{R}^2$ )

Entonces la función multivariable monótona es cuasi-cóncava. Y mi $W$ aquí es monótona en cada $x_i$ por lo que es cuasi-cóncavo. Pero esta definición de monotónico para la función multivariable parece estar en desacuerdo con la definición de función multivariable cuasi-cóncava. Porque en la cuasi-concavidad, podemos elegir dos puntos cualesquiera para tomar la combinación convexa, y cuando un punto (vector) es mayor en algunas dimensiones y menor en otras, la definición anterior de monotónico no es aplicable.

Answer 1

Una función cuadrática de una variable no es cuasicóncava en un intervalo si y sólo si tiene un punto mínimo interior en él. Se deduce que una forma cuadrática $W$ no es cuasicóncava en un dominio convexo $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ si y sólo si existe $x\in \Omega$ y $h\in \mathbb{R}^n$ tal que la primera derivada de $W$ en la dirección $h$ es cero pero la segunda derivada en la misma dirección es positiva. En términos de la matriz $M$ que define la forma cuadrática $W$ podemos afirmar: $W$ no es cuasicóncava si y sólo si existe $x\in \Omega$ y $h\in \mathbb{R}^n$ tal que $h^TMx=0$ y $h^TMh>0$ .

En su caso, $x$ se limita a tener entradas positivas. ¿Cuándo podemos encontrar tal $x$ para lo cual $h^TMx=0$ (de forma equivalente, $x^TMh=0$ )? Sólo cuando el vector $Mh$ tiene componentes de distinto signo. Así que el problema se reduce a la siguiente afirmación.

Reclamación 1 : Si $h\in\mathbb{R}^n$ es tal que $Mh$ tiene componentes de distinto signo, entonces $h^TMh < 0$ .

Dejemos que $u$ sea el vector $(1,1,\dots,1)^T$ . La matriz $M$ puede escribirse como $vv^T+(A-1)I$ . El Fórmula Sherman-Morrison nos dice que para $A\ne 1$ , $$ M^{-1} = (1-A)^{-1}\left(\frac{uu^T}{n-1+A} - I\right) $$ Centrémonos en el término $B=\dfrac{uu^T}{n-1+A} - I$ . En términos de la misma, la reivindicación 1 se puede replantear de la siguiente manera, dejando que $y=Mh$ .

Reclamación 2 : Si un vector $y\in\mathbb{R}^n$ tiene componentes de distinto signo, entonces $y^TBy < 0$ .

Prueba de la reclamación 2 . Dado un vector $y$ como en el caso anterior, escríbalo como $y=p+q$ donde en $p$ los componentes negativos de $y$ se sustituyen por $0$ y en $q$ los componentes positivos de $y$ se sustituyen por $0$ . Por ejemplo, si $y=(1,-2,-3,4)^T$ entonces $p = (1,0,0,4)^T$ y $q=(0,-2,-3,0)^T$ . Tenemos $$y^TBy = p^TBp + q^TBq + 2 p^TBq < p^TBp + q^TBq $$ donde la desigualdad se mantiene porque las entradas no diagonales de la matriz $B$ son positivos.

Afirmo que $p^TBp\le 0$ y $q^TBq\le 0$ de aquí se desprende la afirmación 2. En efecto, cada uno de estos vectores tiene algunas componentes nulas y, por tanto, se trata efectivamente de alguna submatriz principal de $B$ . Pero cualquier submatriz de este tipo es semidefinida negativa, como se deduce al calcular sus valores propios. Para una $k\times k$ submatriz de $B$ el mayor valor propio es $$ \frac{k}{n-1+A} - 1 \le \frac{k}{n-1} - 1 \le 0 $$ con $k$ procedente del truncamiento de $uu^T$ a $k$ componentes.