Funcional polinómico y acotado

Question

Para demostrar la continuidad de la función $$\varphi: \mathbb{R}[X] \ni p \rightarrow p'(2011) \in \mathbb{R}$$ donde $$||p|| = \sup \{|p(t), \ t\in [0,1]\}$$ Me gustaría demostrar que este funcional está acotado.

Así que necesito encontrar un $M>0$ tal que $|\varphi(p)| = |p'(t)| \le M ||p||$ .

Pensé que tal vez podría utilizar un teorema del valor medio, pero esos teoremas afirman que existe $c \in [a,b]$ tal que $p'(c)= \frac{p(b)-p(a)}{b-a}$ mientras que en mi problema $c=2011$ ¿se da ya?

¿Cómo puedo demostrar la acotación de este funcional?

Gracias de antemano

Answer 1

En su definición de lo funcional $\phi$ ¿Qué es? $x$ ? ¿Es un número determinado en $[0,1]$ ?

En cualquier caso.

Este funcional no va a ser acotado. Tomemos $p(x)=x^n$ por ejemplo. Tenemos $||p||=1$ pero $p'(x)=nx^{n-1}$ que toman el valor máximo $p'(1)=n$ (suponiendo que el $x$ en su definición de $\phi$ es $1$ ).

Ejemplos como este se pueden construir sin importar lo que $x$ en su definición de $\phi$ .