Dejemos que $X_n$ sea una secuencia de VR reales indexados por $n \geq 0$ . ¿Puede alguien proporcionar un ejemplo de una secuencia $X_n$ que es intercambiable (ley invariante bajo permutaciones con soporte finito en los números naturales) pero no invariante por desplazamiento (ley invariante por desplazamiento a la izquierda)? ¿Y al revés?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si la secuencia $(X_n)$ es intercambiable entonces $(X_1,X_2,\ldots,X_n,X_{n+1})$ y $(X_2,\ldots,X_n,X_{n+1},X_1)$ coinciden en la distribución, en particular $(X_1,X_2,\ldots,X_{n})$ y $(X_2,\ldots,X_{n+1})$ coinciden en la distribución. Esto es válido para cada $n\geqslant1$ por lo que $(X_n)$ es invariable por desplazamiento. Por lo tanto, la intercambiabilidad implica la invariabilidad de turno.
Dejemos que $X_0$ denota una variable aleatoria simétrica no degenerada y $X_n=(-1)^nX_0$ por cada $n$ . Entonces $(X_n)$ es invariable por desplazamiento, pero las distribuciones de $(X_1,X_2)$ y $(X_1,X_3)$ son diferentes, por lo que $(X_n)$ no es intercambiable. Por lo tanto, la invariabilidad del desplazamiento no implica la intercambiabilidad.
