prueba de que la matriz de covarianza de la distribución normal multivariante es positiva definida

Question

Quiero saber la prueba de que la matriz de covarianza de la distribución normal multivariante es positiva definida para tener una pdf.

Para tener un pdf, si x es un vector aleatorio de tamaño n,

1) f(x) >=0

2) $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$ = 1

¿cómo se puede demostrar esto mostrando estas dos propiedades del pdf?

Answer 1

Cualquier matriz de covarianza es simétrica, semidefinida positiva.

Dejemos que $X=(X_1,...,X_n)^T$ sea una variable aleatoria multivariante. Para simplificar, vamos a suponer que está centrada (es decir $E(X_i)=0$ ). La matriz de covarianza está definida por sus coeficientes: $$C_{ij}=E(X_iX_j)$$ En otras palabras, la matriz de covarianza viene dada por $C=E(XX^T)$ . Por lo tanto, para cualquier vector $u\in\mathbb R^n$ , $$u^TCu=u^TE(XX^T)u=E(u^TXX^Tu)=E(\langle u, X\rangle^2)\geq 0$$ Y la igualdad a $0$ se consigue si existe $u\in \mathbb R^n$ tal que $\langle u, X\rangle=0$ casi seguro. Es decir, si la variable aleatoria $X$ no abarca todo el $\mathbb R^n$ espacio, sino sólo un subespacio estricto.

Esto no puede ocurrir para una distribución normal, por lo que la matriz es semidefinida positiva.

Answer 2

No se necesita la función de densidad para demostrar esto. $\sum_{i,j} a_ia_j cov(X_i,X_j)=\sum_{i,j} a_ia_j E(X_i-EX_i)(X_j-EX_j)=(E(\sum_i a_i(X_i-EX_i))^{2} \geq 0$ para todos $(a_i)$ .

Answer 3

Una matriz de covarianza es siempre simétrica, por lo que se puede diagonalizar con matrices ortogonales por el teorema espectral. Entonces, WLOG, consideramos una matriz diagonal $D$ como matriz de covarianza. Supongamos que la $i$ -coeficiente de la diagonal $d_i$ es $0$ , entonces eso significa : $Var(X_i) =0$ , que no es válida para una distribución normal de v.r. .

Además, como $var(X) \ge 0$ para cualquier v.r., entonces $d_i$ es no negativo.