¿El cuadrado o el círculo tienen un perímetro mayor? Un problema sorprendentemente difícil para los estudiantes de secundaria

Question

Un examen para estudiantes de secundaria tenía el siguiente problema:

Sea el punto $E$ el punto medio del segmento de línea $AD$ en el cuadrado $ABCD$. Luego, se determina un círculo por los puntos $E$, $B$ y $C$ como se muestra en el diagrama. ¿Cuál de las figuras geométricas tiene un perímetro mayor, el cuadrado o el círculo?

Por supuesto, hay algunas formas de resolver este problema. Un método es el siguiente: suponga que las longitudes de los lados del cuadrado son $1$, coloque todo en algún lugar de un sistema de coordenadas cartesianas, encuentre el punto medio del círculo usando las coordenadas de $E$, $B$ y $C$, luego encuentre el radio del círculo y finalmente use el radio para calcular la circunferencia del círculo y compararla con el perímetro del cuadrado.

El problema con ese método es que, aparentemente, este problema se supone que es muy simple; no debería requerir que el estudiante conozca la fórmula para el punto medio de un círculo dado tres coordenadas. Por lo tanto, la pregunta aquí es: ¿existe una forma simple de resolver el problema sin conocer ninguna fórmula geométrica complicada?

Answer 1

Tal vez el examinador pretendía que los estudiantes notaran que el cuadrado está determinado por un triángulo $(3, 4, 5)$, porque $3 + 5 = 4 + 4$ (!):

Consecuentemente, como varios otros han señalado, $$ \frac{\text{perímetro del círculo}}{\text{perímetro del cuadrado}} = \frac{5 \cdot 2\pi}{4 \cdot 8} = \frac{\pi}{3.2} < 1. $$

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Para un enfoque menos dependiente de la inspiración, tomar el origen del sistema de coordenadas en el centro del círculo parece más fácil que colocar el origen en el centro del cuadrado. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el círculo tiene un radio unitario:

Igualando las longitudes de los lados horizontales y verticales del cuadrado en este diagrama, leemos $$ x + 1 = 2y\quad\text{(o $x = 2y - 1$).} $$ Invocando el teorema de Pitágoras y sustituyendo la línea anterior, \begin{align*} 0 &= x^{2} + y^{2} - 1 \\ &= (2y - 1)^{2} + y^{2} - 1 \\ &= 5y^{2} - 4y \\ &= y(5y - 4). \end{align*} Claramente $y \neq 0$, entonces $y = 4/5$, $x = 3/5$, y notamos el Triángulo Favorito del Examinador.

Answer 2

Aquí hay una prueba que llega a la relación entre el diámetro del círculo y el lado del cuadrado usando triángulos similares en lugar del teorema de Pitágoras:

Dibuja el diámetro del círculo desde $E$; deja que el otro extremo de ese diámetro sea $F$ y que cruce el cuadrado en $G$. Entonces, dado que el ángulo $\measuredangle EBF$ es un ángulo recto, los triángulos $\bigtriangleup EBG$ y $\bigtriangleup BFG$ son similares. Obviamente, $|EG|=2|BG|$, entonces $|BG|=2|FG|$ (o en otras palabras $|FG|=\frac12|BG|$) y así $|EF|=|EG|+|FG|=2|BG|+\frac12|BG|=\frac52|BG|$. A partir de aquí, la prueba continúa igual que las demás: el perímetro del cuadrado es $4|EG|=8|BG|$ y la circunferencia del círculo es $\pi|EF|=\frac{5\pi}{2}|BG|$. A partir de $\pi\lt\frac{16}5=3.2$, obtenemos $5\pi\lt16$ y $\frac{5\pi}{2}\lt 8$, por lo que el perímetro del cuadrado es más largo.

Answer 3

Con respecto al comentario de Abel de que le gustaría ver una prueba menos computacional, considere lo siguiente. Es evidente que la longitud de un lado del cuadrado es de $4$ cuadrados pequeños, y el bisector perpendicular de $EB$ cruza la línea central horizontal del dibujo a $2.5$ cuadrados pequeños desde $E$. Disculpas por el dibujo inexacto.

Más formalmente, si llamamos al centro del cuadrado el origen:

EB tiene como puntos finales $(-2,0)$ y $(2,2)$, por lo tanto tiene punto medio $(0,1)$ y pendiente $\frac12$.

El bisector perpendicular de EB tiene una pendiente de $\frac{-1}{\mathrm{pendiente\ de\ EB}}=-2$, por lo tanto cruza el eje $x$ en $(\frac12,0)$

Perímetro de ABCD = $16$

Perímetro de círculo = $2 * \pi * 2.5 \approx 15.71$

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(Me gustó tanto esta respuesta que quería ilustrar paso a paso el proceso para encontrar la ubicación del centro del círculo:)

Primero, el centro del círculo está definido por la intersección de los diámetros; uno es obviamente la línea recta desde $E$, y el otro es generado por la perpendicular desde el punto medio de $EB$:

Luego podemos ubicar el punto medio de $EB$ estando a medio camino a través del cuadrado y a un cuarto hacia abajo desde la parte superior:

Luego podemos encontrar otro punto en la perpendicular girando el rectángulo desde E hasta el punto medio en un ángulo recto:

Y luego es obvio que el radio del círculo es $\frac{5}{8}$ del lado del cuadrado.

Joffan)

Answer 4

Dejaré que el lado del cuadrado sea $2$. El centro del círculo está en la intersección de los bisectores perpendiculares de las cuerdas $BC$ y $EB$. Dejemos que ese punto sea $O$ y el pie de la perpendicular desde $O$ sea $F$.
Ahora el triángulo $OEF$ es similar a $EBA.$
Por lo tanto $$\frac{OE}{EB}= \frac{EF}{BA} \to \frac{OE}{\sqrt 5} = \frac{\sqrt 5/2}{2}\to OE = 5/4$$

La circunferencia del círculo es $$2\pi \frac 5 4= 5\pi/2 = 7.85 $$ que es menor que $8$ la circunferencia del cuadrado. Están muy cerca.

Me gustaría ver una prueba que no sea tan computacional como esta.

Answer 5

Esto no es una respuesta completa, solo una observación para complementar las otras respuestas (y celebrar el Día de Pi).

Si se construyen tangentes en los 20 puntos $(0, \pm25)$, $(\pm25, 0)$, $(\pm15, \pm20)$, $(\pm20, \pm15)$, $(\pm7, \pm24)$, $(\pm24, \pm7)$ en el círculo de radio 25 centrado en el origen, se intersectan en los vértices $(\pm\frac{25}{7}, \pm25)$, $(\pm25, \pm\frac{25}{7})$, $(\pm\frac{125}{11}, \pm\frac{250}{11})$, $(\pm\frac{250}{11}, \pm\frac{125}{11})$, $(\pm\frac{125}{7}, \pm\frac{125}{7})$ de un ícoságono circunscrito irregular, cuyo perímetro es $8 \times \left(\frac{25}{7} + 2 \times \frac{625}{77}\right) = \frac{12200}{77} = 158\frac{34}{77} < 160,$ como se requiere.

Comparando esto con la circunferencia, $50\pi$, del círculo inscrito, obtenemos el límite superior para $\pi$: $$ \pi < \frac{244}{77} = 3\frac{13}{77} < 3.17. $$

Aquí, el ícoságono circunscrito se muestra en rojo, con el círculo (apenas) visible detrás en negro.

Los puntos de tangencia están marcados con círculos azules más pequeños. Los 16 triángulos rectángulos utilizados en la construcción, mostrados en verde, son todos pitagóricos, en una proporción de 3:4:5 o 7:24:25, con hipotenusa $\frac{625}{77}$. Los otros 4 lados del ícoságono tienen una longitud de $\frac{50}{7}$.

No es necesario calcular ningún ángulo, pero la simetría de la figura se ilumina al conocer la secuencia de ángulos subtendidos en el centro del círculo. Corriendo en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje $x$ positivo al eje $y$ positivo, es: $\underline{\alpha\alpha\beta\beta\alpha\alpha\beta\beta\alpha\alpha}$, donde $\alpha = \tan^{-1}\frac{1}{7}$, $\beta = \tan^{-1}\frac{2}{11}$, y: \begin{gather*} 2\alpha = \tan^{-1}\frac{7}{24}, \ \alpha + \beta = \tan^{-1}\frac{1}{3}, \ 2\alpha + \beta = \tan^{-1}\frac{1}{2}, \\ 2\alpha + 2\beta = \tan^{-1}\frac{3}{4}, \ 3\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}, \ 4\alpha + 2\beta = \tan^{-1}\frac{4}{3}, \\ 4\alpha + 3\beta = \tan^{-1}2, \ 5\alpha + 3\beta = \tan^{-1}3, \ 4\alpha + 4\beta = \tan^{-1}\frac{24}{7}. \end{gather*}