Continuo $f$ tiene $≥2$ raíces si $\int_{-1}^{1} f(x)\sqrt {1 - x^2}\ \mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} xf(x)\ \mathrm{d}x = 0$ ?

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $[-1, 1]$ tal que $$\int_{-1}^{1} f(x)\sqrt {1 - x^2}\ \mathrm{d}x = 0\ = \int_{-1}^{1} xf(x)\ \mathrm{d}x\ .$$

Demostrar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos dos raíces reales en $(-1, 1)$ .

No sé por dónde empezar, pero estoy pensando que tengo que exprimir la integral de $f(x)$ en $[-1, 1]$ Aunque no estoy seguro de que esto sea relevante para este problema. También me enseñaron que si necesitaba demostrar "al menos ( insertar número ) raíces reales", se suele utilizar el Teorema del Valor Intermedio, pero no estoy seguro de cómo aplicarlo aquí. Tal vez, ¿es posible/sabio determinar qué $f(x)$ es y proceder a partir de ahí?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Desde $\sqrt{1-x^2}$ es positivo en $(-1,1)$ entonces $\int_{-1}^{1} f(x)\sqrt {1 - x^2} dx = 0$ implica que la función continua $f$ tiene al menos un cero $a\in (-1,1)$ (en caso contrario, el producto $f(x)\sqrt {1 - x^2}$ tiene el mismo signo que $(-1,1)$ y, recordando que si $F\geq 0$ es continua y $\int_a^b F(x)\,dx=0$ entonces $F=0$ en todas partes en $[a,b]$ tenemos una contradicción.

Supongamos que $a$ es la raíz única de $f$ en $(-1,1)$ entonces $f$ debe ser positivo en un lado de $a$ y negativo en el otro lado. Además $$\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx=0$$ donde $g(x)=(x\sqrt{1 - a^2}-a\sqrt {1 - x^2})$ es una función continua que es negativa en $[-1,a)$ y positivo en $(a,1]$ . Por lo tanto, el producto $fg$ tiene el mismo signo en $(-1,1)$ y, como su integral es cero, tenemos una contradicción.

Answer 2

Puedes restar ambas integrales para obtener $$\int_{-1}^1 f(x)(x-\sqrt{1-x^2})dx=0,$$ definir $$h(t):=\int_{-1}^t f(x)(x-\sqrt{1-x^2})dx$$ y observe que $h(-1)=h(1)=0$ .