Prueba alternativa de que la probabilidad del espacio vacío es 0

Question

En mi libro, y en todos los lugares que el escritor encontró en internet, para demostrar que $P(\emptyset)=0$ hacen esto:

$1=P(Ω)=P(Ω∪∅)=P(Ω)+P(∅) \implies P(∅)=0$ porque $Ω∩∅=∅.$

Cuando la escritora trató de demostrarlo, lo hizo de forma diferente:

Desde $\emptyset \square \emptyset = \emptyset$ (para $\square = \cap, \cup$ ), tenemos $P(\emptyset) = P(\emptyset \cup \emptyset) = P(\emptyset)+P(\emptyset)$ y por lo tanto desde $(\mathbb{R}, +)$ es un monoide cancelativo, se deduce que $P(\emptyset) = 0$ .

¿Es esto correcto? Si es así, ¿por qué la prueba habitual es la primera? Mi prueba parece más general ya que no hace uso del axioma $P(\Omega) = 1$ .

Answer 1

Tienes razón en que tu prueba funciona para cualquier espacio de medidas, innecesariamente ya que es un axioma que $\mu(\emptyset)=0$ mientras que la prueba citada funciona en finito medir los espacios. Es un poco más general, sí, pero las pruebas citadas están en el contexto de los espacios de probabilidad por lo que sólo se preocupan por los espacios de medida finita de todos modos.