Su primer enfoque es correcto hasta cierto punto, pero le falta algo fundamental.
En esta solución, la letra $G$ representa a los gujaratis y la letra $M$ representa a los Marwadis.
Primero consideraremos la segunda restricción: todos los vegetarianos (2 gujaratis y 2 marwadis) insisten en sentarse uno al lado del otro. Teniendo en cuenta la primera restricción (no hay dos marwadis que quieran sentarse uno al lado del otro), habrá que organizar a las 4 personas de dos maneras:
$$MGMG \text { or } GMGM$$
Hay $2!$ maneras de sentar a los marwadis y $2!$ para sentar a los dos gujaratis restantes, dando un total de $2! \cdot 2! = 4$ formas de sentar a los cuatro vegetarianos en ambos escenarios.
Consideremos ahora que el grupo es $MGMG$ y tratarlos como una entidad individual que anotaremos como $V$ . Por lo tanto, los vegetarianos pueden sentarse de las siguientes maneras:
$$VMGMGM \text { or } MGVMGM \text { or } MGMGVM$$
Esto da un total de 3 formas de sentar a los vegetarianos. Esto nos deja con 3 Marwadis y 2 Gujaratis para sentarse. Los 3 Marwadis pueden sentarse en $3!$ formas y los 2 gujaratis pueden sentarse en $2!$ formas.
Por lo tanto, el número de formas de sentar a las 9 personas en este escenario es el siguiente:
$$4 \cdot 3 \cdot 3! \cdot 2! = 144$$
Sin embargo, ahora debemos considerar la segunda opción para organizar a los vegetarianos: $GMGM$ . Todavía hay 4 maneras de sentar a todos los vegetarianos, pero tienen que ser sentados de manera diferente entre todo el grupo.
Los vegetarianos en este escenario pueden sentarse de las siguientes maneras:
$$MVGMGM \text { or } MGMVGM \text { or } MGMGMV$$
Esto también nos da un total de 3 formas de sentar a los vegetarianos, y el resto de marwadis y gujratis también pueden sentarse en $3! \cdot 2!$ formas.
Por lo tanto, el número de formas de sentar a las 9 personas en este escenario es el siguiente:
$$4 \cdot 3 \cdot 3! \cdot 2! = 144$$
Por lo tanto, el número total de formas de sentar a las 9 personas es el siguiente:
$$144 + 144 = 288 \ (= 6 \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 3!)$$
La opción D es la respuesta correcta.
La razón por la que tu primer planteamiento es incorrecto es que asumiste que el número de formas de sentar a los vegetarianos era $6!$ cuando deberían haber sido sólo 6 (que es lo mismo que la suma de las formas de sentar a los vegetarianos en el $MGMG$ y $GMGM$ escenario). Aunque se tratara de un pequeño error tipográfico, el razonamiento de por qué había 6 formas de sentar a los vegetarianos es incorrecto. Ya que asumiste que los vegetarianos se sentaban como $MGMG$ No se les podría haber colocado en un escenario como el de $MGM \_ MG$ donde los vegetarianos deben colocarse en el hueco. Esto habría violado la primera restricción.
La razón por la que tu segundo planteamiento también es incorrecto es que asumiste que habría el doble de formas de sentar a los vegetarianos si tanto el $MGMG$ y $GMGM$ casos fueron considerados, lo que no es el caso. Como se menciona en el párrafo anterior, hay no 6 formas de sentar a los vegetarianos en cada escenario; sólo hay 3 formas. Una vez más, el mismo error con respecto a $6!$ se hace, cuando debería haber sido simplemente $6$ .
Sé que esta solución es bastante larga; sólo quiero asegurarme de que el razonamiento detrás de esta solución quede claro. No obstante, espero que le haya resultado útil.
