¿Qué significa δA en la diferenciación?

Question

Para ser más específico, me encontré con esto al hacer mecánica analítica que implica el principio de mínima acción:

Answer 1

La forma más fácil de entender esta notación es la siguiente:

• A variación es una transformación de las variables independientes en un problema; dice que para cada $\epsilon$ podemos transformar $x_i$ a $x_i=x_i(\epsilon)=x_i + \epsilon\,\delta x_i + O(\epsilon^2)$ para algunos $\delta x_i$ . Puedes pensar en ello como un camino en $\mathbf x$ espacio parametrizado por $\epsilon$ .
• Aviso $$\left[\frac{\mathrm d x_i}{\mathrm d \epsilon}\right]_{\epsilon=0} = \delta x_i$$ Así, el vector $\mathbf{\delta x}$ es una tangente a ese camino.
• En general, definimos $$\delta F(x_1,\cdots,x_n) = \delta F(x_1(\epsilon),\cdots,x_n(\epsilon)) = \left[\frac{\mathrm d F}{\mathrm d \epsilon}\right]_{\epsilon=0}$$ Por lo tanto, $\epsilon\times \delta F$ es el pequeño cambio en $F$ con esta variación .
• Utilizando la regla de la cadena $$\delta F = \left[\frac{\mathrm d F}{\mathrm d \epsilon}\right]_{\epsilon=0} = \sum_i\frac{\partial F}{\partial x_i}\left[\frac{\mathrm d x_i}{\mathrm d \epsilon}\right]_0 = \sum_i\frac{\partial F}{\partial x_i}\delta x_i$$

Esto se puede formalizar mediante formas diferenciales, pero lo anterior es clave para una comprensión más intuitiva. El mensaje es que $\delta F$ es el pequeño cambio en $F$ debido al pequeño cambio en $\delta \mathbf x$ en $\mathbf x$ .

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Para completar, podemos esbozar muy rápidamente cómo se avanza hacia las formas diferenciales.

Idea : Qué derivados $F'(x)$ son para decirte cómo averiguar lo que un pequeño cambio en $F$ se da un pequeño cambio en $x$ . Definir $\mathrm d F$ ser algo que mapea un cambio en $x$ al cambio de $F$ de primer orden en la expansión de Taylor. $\mathrm d F(U) = U \times \partial_x F$ .

En configuraciones más arbitrarias, se permite cambiar $\mathbf x$ Pensando en ella como un conjunto de coordenadas, al desplazarse por cualquier camino en $\mathbf x$ espacio. (Aquí, estamos pensando en permitir cualquier camino. En general, podríamos estar limitados a colectores como la esfera unitaria). Entonces, un pequeño cambio a lo largo de una trayectoria está determinado por las derivadas a lo largo de esa trayectoria; esto es simplemente el vector tangente punteado con el gradiente, $\mathbf U \cdot \nabla F$ . Por analogía con lo anterior, definimos $$\mathrm d F(\mathbf U) = \text{derivative of $ F $ along curve tangent to $\mathbf U $} = U_i \cdot \partial F/\partial x_i$$ utilizando la regla de la cadena para el último paso.

Esta es esencialmente la idea de las formas diferenciales (exactas) 1: llevan los vectores a las derivadas de las funciones.

Answer 2

En este caso, el autor utiliza $\delta$ para el derivado exterior que se suele denominar $\operatorname{d}$ .

La función $A$ es una función de varias variables, por ejemplo $A(x_1,\ldots,x_n)$ . El derivada parcial de $A$ con respecto a cualquiera de las variables se denota por $$\frac{\partial A}{\partial x_i}$$ donde $1 \le i \le n$ . Por definición, la derivada exterior de la diferencial $0$ -forma es decir, de la función, $A$ es $$\operatorname{d}\!A = \frac{\partial A}{\partial x_1}\, \operatorname{d}\!x_1 + \cdots + \frac{\partial A}{\partial x_n}\, \operatorname{d}\!x_n$$

Cada uno de los $\operatorname{d}\!x_i$ son formas diferenciales 1 . Toman un vector tangente y dan el $i$ -ésima componente de ese vector. Si quieres ponerte muy técnico entonces cada uno de los $\operatorname{d}\!x_i$ son covectores linealmente independientes. Dado que cada uno de los $\operatorname{d}\!x_i$ son linealmente independientes, $\operatorname{d}\!A = 0$ si y sólo si cada una de las derivadas parciales es cero.