El topos infinitesimal en característica positiva

Question

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En su artículo "Crystals and the de Rham cohomology of schemes" en la colección "Dix exposes sur la cohomologie des schemas" Grothendieck define el sitio infinitesimal (pequeño) de un $S$ -sistema $X$ utilizando espesantes de aperturas habituales. Luego procede a demostrar que en la característica $0$ la cohomología con coeficientes en $\mathcal{O}_{X}$ calcula la cohomología algebraica de Rham del esquema subyacente. Esto es notable, porque la definición del sitio no utiliza formas diferenciales y no es necesario para $X/S$ para ser suave.

Esto falla en las características positivas, y como remedio, Grothendieck sugiere añadir los datos adicionales de las estructuras de poder divididas al sitio, que entonces llama el "sitio cristalino de $X/S$ ". Este sitio tiene entonces un buen comportamiento cohomológico (por ejemplo, si $X$ es elevable a char. $0$ entonces la cohomología calculada con el topos cristalino es lo que "debería ser"). La teoría del topos cristalino fue, por supuesto, elaborada con mucho éxito por Pierre Berthelot.

Mi pregunta es: A pesar de que el sitio infinitesimal no tiene un buen comportamiento en cuanto a características positivas, ¿se ha seguido estudiando en este contexto? ¿Qué tipo de resultados se han obtenido, y ha seguido siendo útil? Estoy particularmente interesado en los resultados sobre $D$ -en característica positiva (es decir, cristales en el sitio infinitesimal si $X/S$ es suave), pero también tengo curiosidad por ver en qué otras direcciones se ha avanzado.

Answer 1

Hay un artículo de Ogus de 1975, "La cohomología del sitio infinitesimal", en el que demuestra que si $X$ es propio sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de char. $p$ y se incrusta en un esquema suave esquema sobre $k$ entonces la cohomología infinitesimal de $X$ coincide con la cohomología etale con coeficientes en $k$ (o más generalmente $W_n(k)$ si trabajamos con el sitio infinitesimal de $X$ en $W_n(k)$ ).

Tenga en cuenta que, como $k$ tiene char. $p$ estamos hablando de cohomología etale con mod $p^n$ coeficientes, por lo que esto es "más pequeño" que la cohomología etale habitual; sólo recoge las "raíces unitarias" de Frobenius. Así que la cohomología infinitesimal da la parte de la raíz unitaria de la cohomología cristalina.