Dejemos que $F: M \rightarrow N$ una isometría y $M,N$ dos colectores riemannianos. ¿Cómo puedo demostrar que el conjunto de puntos fijos de la isometría de F (entre la variedad riemanniana) es una geodésica? ¿En general es una curva?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
wawawawa
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Véase la proposición 24 del capítulo 5, sección 10, del libro de Peter Petersen Geometría riemanniana, que establece lo siguiente:
Supongamos que $S \subset \textrm{Iso}(M,g)$ es un conjunto de isometrías. Entonces cada componente del conjunto de puntos fijos es un submanifold totalmente geodésico $X \subset M$ . Aquí totalmente geodésico significa que la segunda forma fundamental de $X$ en $M$ es idéntico a cero.
Por lo tanto (como se indica básicamente en los comentarios) tiene sentido buscar colecciones de isometrías en lugar de una sola isometría.
En este caso, si el conjunto de puntos fijos resulta ser unidimensional, será una geodésica.
