Demostrar que un mapa es lineal... o no

Question

Sea F[x] el espacio vectorial de polinomios en la variable x con coeficientes en F. Sea e1 : F[x] -> F el mapa que lleva un polinomio f a f(1) $\in$ F. Demuestra o refuta que e1 es lineal.

Para empezar, no tengo ni idea de lo que es F[x]. ¿Qué significa ser un espacio vectorial de polinomios en la variable x?

Answer 1

Una pista:

$F[x]$ es el conjunto de todos los polinomios en una variable, denominado $x$ con coeficientes en el campo $F$ : $$ F[x]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\mid a_0,\ldots,a_n\in F,\ n\in\mathbb{N}\}. $$ Tenga en cuenta que podemos ver $F[x]$ como un espacio vectorial sobre $F$ definiendo la multiplicación escalar y la suma vectorial. Si $\alpha\in F$ es un escalar, y $f,g\in F[x]$ son los polinomios $$\tag{1} f(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n,\qquad g(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n $$ (donde el polinomio de menor grado tendrá ceros para sus coeficientes más altos), entonces definimos $\alpha\cdot f$ para ser el polinomio $$\tag{2} (\alpha\cdot f)(x):=\alpha\cdot f(x)=\alpha b_0+\alpha b_1x+\cdots+\alpha b_nx^n $$ y definimos $f+g$ para ser el polinomio $$\tag{3} (f+g)(x):=f(x)+g(x)=(b_0+c_0)+(b_1+c_1)x+\cdots+(b_n+c_n)x^n. $$

Ahora: dado $F[x]$ existe una familia de funciones naturales $\phi_a:F[x]\rightarrow F$ para $a\in F$ definido por $$ \phi_a(f):=f(a)=b_0+b_1a+b_2a^2+\cdots+b_na^n. $$ (Estos son los llamados mapas de evaluación creo). En este problema se pregunta por $\phi_1$ en particular, cuando $1$ es la identidad multiplicativa en el campo $F$ . ¿Cómo es que $\phi_1$ ¿comportarse? Utilizando las propiedades del campo, vemos $$\tag{4} \phi_1(f)=f(1)=b_0+b_1\cdot1+b_2\cdot1^2+\cdots+b_n\cdot 1^n=b_0+b_1+\cdots+b_n. $$

Por lo tanto, la pregunta aquí es la siguiente: ¿es $\phi_1$ ¿un mapeo lineal? En otras palabras, para $f$ y $g$ como está escrito en (1), $\alpha\cdot f$ y $f+g$ definidos en (2) y (3) respectivamente, y $\phi_1$ el mapeo de (4) que toma un polinomio y devuelve la suma de sus coeficientes, ¿es cierto que $$ \phi_1(\alpha\cdot f)=\alpha\cdot\phi_1(f)\qquad\text{and}\qquad \phi_1(f+g)=\phi_1(f)+\phi_1(g) $$ ¿tiene?