Es $7$ ¿el único primo seguido de un cubo?

Question

Descubrí este sitio que afirma que " $7$ es el único primo seguido de un cubo". Esta afirmación me parece bastante sorprendente. ¿Es cierto? ¿Dónde puedo encontrar una prueba que lo demuestre?

En mi búsqueda, encontré esta pregunta que es similar, pero las respuestas parecen centrarse en los cuadrados junto a los cubos.

¿Alguna idea?

Answer 1

Esto es ciertamente cierto. Supongamos que $n^3 - 1$ es primo, para algunos $n$ . Conseguimos que $n^3-1 = (n-1)(n^2 + n + 1)$ y así tenemos que $n-1$ divide $n^3 - 1$ . Si $n-1>1$ entonces hemos terminado, ya que tenemos una contradicción para $n^3 - 1$ siendo primordial.

Answer 2

$$x^3 - 1 = \underbrace{(x-1)(x^2+x+1)}.$$ Al ser un producto de dos números, la expresión sobre el $\underbrace{\text{underbrace}}$ es compuesto A MENOS QUE $(x-1)=1$ . Eso sólo ocurre si $x=2$ Así que $x^3=8$ .

Answer 3

Idea clave $\ $ Compuesto polinomios toma compuesto valores) (excepto para finamente muchos valores)

En efecto, supongamos que $\ f(x)\color{#c00}{\ne 0}\ $ es un polinomio compuesto: $\, f(x) = g(x)h(x)\,$ con $\ g,\,h\color{#c00}{\ne \pm1}.\,$ Entonces $\, f(n) = g(n)h(n)\,$ es un entero compuesto si $\,g(n),\,h(n)\,\neq\, 0,\,\pm1.\,$ Las posibles excepciones son finito en número: cuando $\,n\,$ es una raíz de $\ g,\, h,\, g\pm1,\,$ o $\, h\pm1, \,$ todos los cuales son $\color{#c00}{nonzero}$ polinomios Por lo tanto, tenemos finito conjuntos de raíces. $\ $ QED

Nota: $\ $ Para un polinomio compuesto específico $\,f = gh\,$ esto da lugar a un algoritmo sencillo para enumerar sus valores primos finitos: probar si $\,f(n)\,$ es primo como $\,n\,$ se extiende sobre las raíces de $\,g\pm1\,$ o $\,h\pm1.\,$ Aplicando esto a $\, f = x^3-1 = (x-1)(x^2\!+x+1)\,$ rápidamente da el resultado buscado.

Por lo tanto, el método utilizado en las otras respuestas es un caso especial de un método que funciona en general. Además, se trata de un caso de filosofía general relacionando las factorizaciones de los polinomios con las factorizaciones de sus valores (ver dicha respuesta) para saber más sobre este punto de vista).

Answer 4

Quiere saber cuándo $x^3-1$ es primo. Esta expresión se puede escribir como $(x-1)(x^2+x+1)$ Así que siempre es divisible por $(x-1)$ . Si un primo se divide por $(x-1)$ Así que $x-1=1$ o $x=2$ y $x^3-1=7$ .

Answer 5

No lo haría $-2$ también sea un primo seguido de $-1$ que es un cubo de $-1$ . Como $x^2 + x +1$ también será igual a uno para $x=-2$ .