Interpretación de las líneas "27" para la superficie cúbica con puntos dobles racionales

Question

Es bien sabido que una superficie cúbica lisa tiene $27$ líneas distintas. Explícitamente, si elegimos una representación plana, es decir, una ampliación $\mathbb P^2$ en $6$ puntos generales $p_1,...,p_6$ El $27$ líneas son (1) $E_i$ , $1\le i\le 6$ los divisores excepcionales, (2) $F_{ij}$ , $1\le i<j\le 6$ la transformación propia de las líneas que unen $p_i$ y $p_j$ y (3) $Q_i$ , $1\le i\le 6$ la transformada propia de las cónicas que pasan $5$ puntos excepto $p_i$ .

Cuando una superficie cúbica adquiere con un nodo ( $A_1$ singularidad), tiene $21$ líneas. Se puede pensar que esto ocurre en una especialización como la $6$ los puntos pasan a estar en una sola cónica, y la línea $E_i$ y $Q_i$ coinciden en el límite como una línea doble, para $i=1,...,6$ , mientras que el resto de la $15$ líneas $F_{ij}$ se mantiene simple. Así que $27$ se interpreta como $2\times 6+15$ .

¿Qué ocurre en general? Tengo entendido que, dado que el número $27$ (o $2875$ para los trípticos quínticos) se calcula mediante la teoría de la intersección, debe interpretarse como el longitud del esquema de Hilbert de las líneas especialmente cuando la superficie cúbica no es demasiado singular y el número de líneas sigue siendo finito.

Según El libro de Dolgachev sección 9.2.2, todas las superficies cúbicas con singularidades de doble punto, en el peor de los casos racionales, tienen un número finito de líneas . (por ejemplo, una superficie cúbica con un $A_2$ la singularidad tiene $15$ líneas; una superficie cúbica con un $E_6$ singularidad sólo tiene $1$ línea).

Así que mi pregunta es, ¿se han realizado trabajos para describir el esquema de Hilbert de las líneas para superficies cúbicas con singularidades racionales de doble punto, o existe una interpretación geométrica de cómo el número $27$ se atribuyen a las multiplicidades de las líneas geométricas en esas superficies cúbicas?

Answer 1

Como se menciona en el libro de Dolgachev, Schläfli clasificó las superficies cúbicas según sus singularidades. En Una memoria sobre la superficie cúbica Cayley tabula para cada tipo de superficie cúbica singular el número de líneas distintas y su multiplicidad. La multiplicidad de una recta en el esquema de Hilbert de las rectas depende de si pasa por una singularidad y del tipo de esa singularidad. Lo ilustraré con algunos ejemplos.

(II) En el caso que usted menciona (una $\mathrm{A}_1$ -singularidad $p$ ) $15$ las líneas no pasan por $p$ (que tienen por tanto multiplicidad 1), y $6$ (y cada uno tiene multiplicidad $2$ ).

(IV) Si se considera una superficie cúbica con dos $\mathrm{A}_1$ -singularidades $p$ y $q$ entonces $7$ las líneas se pierden ambas $p$ y $q$ , $8$ Las líneas pasan por uno de los $p,q$ y exactamente una línea pasa por ambos $p$ y $q$ (que tiene multiplicidad $2\times 2=4$ ).

(III) Si una superficie cúbica tiene una sola $\mathrm{A}_2$ -singularidad $p$ entonces $9$ líneas de falta $p$ y el $6$ líneas que pasan por $p$ tienen multiplicidad $3$ .

(XXI) Como menciona Balazs en los comentarios, el caso XXI de tres $\mathrm{A}_2$ -singularidades es particularmente agradable. Las singularidades forman los vértices de un triángulo, cuyas aristas son las tres líneas de la superficie cúbica, cada una de las cuales tiene multiplicidad $3\times 3=9$ en el esquema de Hilbert. En este caso es particularmente sencillo escribir las ecuaciones recortando el esquema de Hilbert como un subesquema del Grassmanniano $\mathrm{Gr}(2,4)$ se obtiene que el esquema de Hilbert de las líneas es el espectro de tres copias de $\mathbf{C}[x,y]/(x^3,y^3)$ (lo que confirma que cada línea tiene multiplicidad $9$ ).

(Obsérvese la siguiente consecuencia: como el esquema universal de Hilbert de las líneas es plano sobre el lugar geométrico de las superficies cúbicas que contienen un número finito de líneas, y como el polinomio de Hilbert es constante en las familias planas, este cálculo muestra que si una superficie cúbica tiene un número finito de líneas, entonces el número de líneas debe ser 27, contado con multiplicidad, por supuesto).

Supongo que podrías preguntarte qué finito $\mathbf{C}$ -Las álgebras se presentan como anillos de funciones de esquemas de Hilbert de líneas de superficies cúbicas singulares; no creo que Cayley las haya tabulado.