Resolución de una ecuación diferencial homogénea $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+8y^2}{3xy}$ .

Question

Resuelve la ecuación diferencial. Utiliza el hecho de que la ecuación dada es homogénea $$ \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+8y^2}{3xy} $$

Primero multiplico el lado derecho por $$ \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} $$ Entonces $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{8y^2}{x^2}}{\frac{3y}{x}} $$ $$ Let: v=\frac{y}{x} $$ $$ \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} $$ Entonces sustituye $$ \frac{dy}{dx}=\frac{1+v^2}{3v}$$ $$ \frac{1+v^2}{3v}=v+x\frac{dv}{dx}$$

¿Cómo puedo encontrar la solución desde aquí?

Answer 1

Sugerencia :

Primero un ligero error de cálculo (usted Se ha perdido el $8$ ) por su parte, debería serlo:

$$ \frac{1+8v^2}{3v}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$$

Después de esto sólo hay que separar las variables e integrar:

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\int \frac{3v\ \mathrm{d}v}{(1+5v^2)}$$

¿Puede continuar?

Actualización:

Para ayudarte a eliminar la confusión, he escrito los pasos restantes:

$$\frac{10}{3}\ln(xc)=\ln\left(1+5\left(\frac{y}{x}\right)^2 \right)$$

$$\ln\left((xc)^{\frac{10}{3}}\right)=\ln\left(1+5\left(\frac{y}{x}\right)^2 \right)$$

$$\frac 15 cx^{\frac{10}{3}}-\frac 15=\frac{y^2}{x^2}$$

$$\frac 15 cx^{\frac{10}{3}} \cdot x^2-\frac {x^2}{5}=y^2$$

$$\implies y=\pm \sqrt{\frac{cx^{\frac{16}{3}}}{5}-\frac {x^2}{5}}$$

$$\implies y=\pm \sqrt{c_1x^{\frac{16}{3}}-\frac {x^2}{5}}$$