¿Por qué podemos ignorar la energía propia?

Question

He estado haciendo algunas preguntas de práctica en un libro de texto [Electricidad y Magnetismo de Purcell y Morin]. Así que sé que la energía la energía potencial de un sistema es el trabajo total requerido para montar el sistema desde el infinito y se puede encontrar de: $$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{entire\ field }E^2dv$$ [Esto se indica en la sección 1.15 de este libro]

En el problema que estoy haciendo [pregunta 1.33] te pide que obtengas la energía total de dos protones. Si $\vec E_1$ es el campo debido a uno y $\vec E_2$ que debido al otro entonces el potencial total viene dado por: $$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int E_1^2dv+\frac{\epsilon_0}{2}\int E_2^2dv+\frac{\epsilon_0}{2}\int \vec E_1\cdot \vec E_2dv$$ Pero para esto la tercera integral sola es igual a $$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 b}$$ (donde $b$ es la separación de los protones). Pero las dos primeras integrales deben ser nulas. Así que esto significa una de dos cosas:

1. La energía total para construir un conjunto de protones desde el infinito (donde la energía total se toma como 0) no lo es: $$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 b}$$
2. O: $$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{entire\ field }E^2dv$$ no representa el trabajo total realizado para reunir las cargas desde el infinito.

Una de las afirmaciones anteriores debe ser cierta, de lo contrario tenemos una contradicción. Creo que es la primera pero no tengo ni idea de por qué, por favor alguien puede explicarlo.

Answer 1

El problema es la energía necesaria para reunir las cargas, suponiendo que ya existen.

Entonces, imagina que las cargas están separadas entre sí por una distancia muy grande. Entonces tu tercera expresión es efectivamente cero.

Al juntar las cargas, las dos primeras expresiones no cambian en absoluto, y la tercera sí. Así que el trabajo realizado, que es el cambio de energía, está completamente representado por la tercera integral.

La respuesta a tu pregunta es la explicación 2, esa integral no representa el trabajo realizado. Es el cambio en esa integral a medida que movemos las cargas desde el infinito lo que nos interesa.

Sin embargo, sigue existiendo el problema de que las dos primeras integrales divergen, lo que indica una energía infinita para una carga puntual. Por tanto, cuando decimos que las dos primeras integrales no cambian, estamos hablando de forma imprecisa. Se puede realizar una transformación de coordenadas para demostrar que las integrales en sí mismas son las mismas integrales, pero no que los valores son los mismos porque las integrales no tienen un valor. Para más información, véase Energía infinita de las cargas puntuales (en el contexto de las teorías de campo clásicas)