Demuestre que la secuencia $f_{n}(x)=\dfrac{nx}{1+(nx)^2}$ converge puntualmente a $0$ .

Question

Demuestre que la secuencia de funciones $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f_{n}(x)=\dfrac{nx}{1+(nx)^2}$ converge puntualmente a $0$ ¿es esta convergencia uniforme para $x\in[10,\infty)$ ?

¿Esto es correcto?

Mi intento: Tengan en cuenta que, $$f'_{n}=\dfrac{n-n^3x^2}{(1+n^2x^2)^2}$$ Por lo tanto, si $f'_{n}=0$ entonces $x=\frac{1}{n}$ . Además, $$f''_{n}(x)=\dfrac{-6n^3x+4n^5x^3}{(1+(nx)^2)^2}\neq0$$

Por lo tanto, si evalué en $x=1/n$ tenemos $f_n(1/n)=1/2$ . Por lo tanto, $$\sup_{x\in\mathbb{R}}{|\dfrac{nx}{1+(nx)^2}-0|}=\frac{1}{2}$$

Así que, $f_{n}(x)$ converge puntualmente a $f(x)=0$ pero no uniformemente para $x\in[10,\infty)$ porque, el sup es constante, e igual a $1/2$ .

¿Esto es correcto?

Answer 1

Como se menciona en los comentarios que se establecen $x=\frac{1}{n}$ pero eso no está en $[10,\infty)$ . Esta es una buena estrategia para demostrar que algo no converge uniformemente. Sin embargo, debes estar seguro de que la secuencia $x_n$ también está en su dominio. Para demostrar la convergencia uniforme: \begin {align} \bigg\Vert \frac {nx}{1+(nx)^2} \bigg\Vert_\infty \leq \bigg\Vert \frac {nx}{(nx)^2} \bigg\Vert_\infty \leq \bigg\Vert \frac {1}{nx} \bigg\Vert_\infty \leq \frac {1}{10n} \to 0 \ \ \ \text { como } \ ~ - n \to \infty \end {align} De ahí que la convergencia sea también uniforme.