prueba de que la medida de Lebesgue de un subespacio de dimensión inferior es 0.

Question

Ayer hice esta pregunta La medida de Lebesgue de un subespacio de dimensión inferior es 0 La respuesta de Matt S no me convenció mucho y después de intentar encontrar una solución sin usar determinantes y la descomposición de un mapa lineal sin conseguir nada sencillo me rendí y decidí hacerlo de la otra manera.

Esta es la notación y los teoremas que asumimos:

$m$ es la medida de Lebesgue (completa) sobre $R^k$ , a a $k$ -célula es un conjunto $W$ de la forma ( $a$ y $b$ son puntos de $R^k$ ) $W=\{x\in R^k:a_i<x_i<b_i\,i=1,2,...,k.\}$ o cualquier conjunto obtenido mediante la sustitución de alguno o todos los signos $<$ por $\le$ , $Vol(W)=(b_1-a_1)...(b_n-a_n)$ y si $W$ es cualquier tipo de célula, entonces $m(W)=vol(W)$ . Cualquier transformación lineal $T:R^k\to R^k$ puede escribirse como un producto finito de una de las siguientes transformaciones lineales:

1. Una transformación lineal que sólo permuta la base estándar $\{e_1,...,e_k\}$
2. $T(e_1)=t e_1$ y $T(e_i)=e_i$ para $i=2,...,k$ para un verdadero $t$ .
3. $T(e_1)=e_1+e_2$ y $T(e_i)=e_i$ para $i=2,...,k$ .

Si T es de cualquier tipo como el anterior, excepto 2. y $t=0$ (es decir $T$ no es un homeomorfismo, los otros son homeomorfismos), $E$ es un conjunto medible de Lebesgue, entonces $T(E)$ es también un conjunto medible de Lebesgue y \begin {Ecuación} \tag {1} m(T(E))=|| \det T|m(E) \end {Ecuación}

Todo lo anterior se da por supuesto.

Ahora queremos demostrar (1) para todas las transformaciones lineales $T:R^k\to R^k$ . Empecemos por demostrarlo para el tipo 2. con $t=0$ . Vemos que $\det T=0$ y $T(R^k)=\{0\}\times R^{k-1}$ es un conjunto medible de Lebesgue (de hecho, cerrado). Demostramos que $m(0\times R^{k-1})$ . Sea $a_n=(0,-n,-n,...,-n)$ y $b_n=(0,n,n,...,n)$ y definir $W_n=\{x\in R^k:{a_n}_i\le x_i\le {b_n}_i, i=1,2,..,k\}$ . Está claro que cada $W_n$ es un compacto $k$ -célula, $m(W)=Vol(W)=0$ y $\cup_{n=1}^\infty W_n=\{0\}\times R^{k-1}$ y que $W_n$ es una secuencia creciente de conjuntos. Por lo tanto, tenemos $m(\{0\}\times R^{k-1})=\lim_{n\to \infty}m(W_n)=\lim_{n\to\infty}0=0$ . Así que ahora hemos demostrado (1) para $E=R^k$ , si $E$ es cualquier subconjunto de $R^k$ entonces $T\subset T(R^k)$ y luego $T(E)$ es una medida de Lebesgue porque $m$ es completa y $m(T(R^k))=0$ y entonces (1) sigue siendo válida.

Dejemos que $T:R^k\to R^k$ sea cualquier transformación lineal y escriba $T=T_1T_2...T_n$ donde cada $T_i$ es de alguno de los tres tipos anteriores y $E$ sea un conjunto medible de Lebesgue, obtenemos inductivamente que $T(E)$ es otro conjunto medible de Lebesgue. También obtenemos inductivamente: \begin {align} m(T(E))&=m(T_1(T_2(...T_n(E)...) \\ &=| \det T_1|m(T_2(...(T_n(E)...) \\ &... \\ &=| \det T_1|| \det T_2|...| \det T_n|m(E) \\ &=|det T|m(E) \end {align}

Ahora tenemos (*) demostrado para todos los mapas lineales $T:R^k\to R^k$ .

Quiero comprobar si esto es correcto y encontrar una respuesta a mi otra pregunta que sea lo más sencilla posible.

Answer 1

Otra forma de pensar en esto es la siguiente. Supongamos que $T$ no es onto, y dejemos que $\{b_1,b_2,\dotsc,b_p\}$ sea una base para el rango de $T$ . Extender a una base $\{b_1,b_2,\dotsc,b_k\}$ para $\mathbf{R}^k$ y definir $U$ como la siguiente transformación: $U(e_i)=b_i$ , donde $\{e_1,e_2,\dotsc,e_k\}$ es la base estándar para $\mathbf{R}^k$ . Tenga en cuenta que $U$ es invertible, y como $m(U(E))=\Delta(U)m(E)$ basta con demostrar que el hiperplano abarcado por $\{e_1,e_2,\dotsc,e_p\}$ tiene medida $0$ . Lo siguiente $k$ -célula: $[0,1]^p\times\{0\}^{k-p}$ tiene medida $0$ (su volumen es $0$ ), y el hiperplano abarcado por $\{e_1,e_2,\dotsc,e_p\}$ es una unión contable de traducciones de este $k$ -célula.