Aproximaciones racionales "menores o iguales a"

Question

El teorema de aproximación de Dirchlet establece que para $k$ números reales $b_1, b_2, \ldots, b_n$ y $N\in \mathbb{N}$ existe un $q\in\mathbb{N}$ tal que para todo $1\le i\le k$ existe un número entero $p_i$ tal que $|b_iq-p_i|\le \frac{1}{N^{\frac{1}{k}}}$ .

Nótese que, en cierto sentido, estas aproximaciones pueden ser tanto límites inferiores como superiores. Para una aplicación particular necesito aproximaciones racionales de esta forma en una sola dirección. En particular, tenía curiosidad por saber si el siguiente resultado se mantiene. Para números reales positivos $b_1,\ldots,b_k$ y cualquier $\epsilon>0$ existe un número entero positivo $q$ tal que $0\le (qb_i-\lfloor qb_i \rfloor)\le \epsilon$ para $1\le i \le k$ .

Answer 1

Esto es falso en general, considere cualquier irracional $b_1\in (0,1)$ y $b_2=1-b_1$ . Entonces $qb_1-\lfloor qb_1 \rfloor+qb_2-\lfloor qb_2 \rfloor=1$ para cualquier número entero positivo $q$ Por lo tanto, si $\epsilon<1/2$ , su $q$ no existe.

Por otro lado, si $b_i$ y 1 son racionalmente independientes, podemos decir aún más: para cualquier intervalo $\Delta_i\subset (0,1)$ existe un número entero positivo $q$ tal que la parte fraccionaria de $qb_i$ se encuentra en $\Delta_i$ .