Estoy buscando una prueba de la desigualdad fundamental de la forma del índice, que he visto como referencias o afirmaciones en un montón de fuentes, pero sin una prueba. Esta es la afirmación:
Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana y $\gamma : [a,b] \to M$ sea una geodésica. Sea $E_1, ... , E_n$ sea un marco ortonormal a lo largo de $\gamma$ y que $J_1, ... J_n$ sean los únicos campos de Jacobi a lo largo de $\gamma$ con $J_i(a)=0$ y $J_i(b)=E_i$ para todo i. Entonces: $I(J_i) \leq I(\frac{t}{d(a,b)}E_i)$
A modo de recordatorio:
La forma de índice se define como
$I:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathbb{R}$ , $I(X,Y) := \int_a^b (\langle \nabla_{\dot{\gamma}} X, \nabla_{\dot{\gamma}} Y\rangle - R(\dot{\gamma},X,\dot{\gamma},Y))dt.$
y con un solo argumento:
$I:\mathfrak{X}(M)\to\mathbb{R}$ , $I(X) := I(X,X).$
¡Muchas gracias!
(por favor, corregidme si me he equivocado en algo)
