Movimiento de proyectiles Pregunta sobre una pelota y una rampa inclinada en ángulo

Question

La cuestión es encontrar la velocidad horizontal inicial de la bola al final de la rampa, donde se suelta.

Sé cómo hacerlo utilizando la energía potencial gravitatoria y la energía cinética ( $v=\sqrt{2gh}$ ), suponiendo que toda la energía potencial se convierte en energía cinética, pero la pregunta me pide que encuentre el error en el experimento.

Me da los valores en $y$ a medida que se eleva la rampa (se eleva unos 10 cm cada vez) y los valores correspondientes de $x^2$ . Dibujé un gráfico de $x^2$ vs $y$ y encontrar el gradiente.

¿Cómo puedo usar esto para encontrar la velocidad horizontal inicial experimental?

Este boceto muestra el aspecto del experimento:

Answer 1

Descargo de responsabilidad: Como este es un problema de estilo de tarea, no voy a escribir todos los detalles.

Escribiendo la ecuación del proyectil, y sustituyendo $\theta$ llegamos a la ecuación:

$$-\frac{x^2}{\frac{4 g (h-y) \left(l^2-(y-h)^2\right)}{l^2}}-\frac{x (y-h)}{\sqrt{l^2-(y-h)^2}}+h=0$$

Resolviendo esto para $x$ y simplificando las enormes expresiones (quizás con algo como Mathematica); encontramos:

$$x\to \frac{ \left( 2 \sqrt{g (h-y) (h+l-y)^2 (-h+l+y)^2 \left(g (h-y)^3+h l^2\right)}-2 g (h-y)^2 (h-l-y) (h+l-y)\right)}{l^2 \sqrt{-(h-l-y) (h+l-y)}}$$

Cuadrando:

$$\Rightarrow x^2=\frac{1}{l^4}4 g (y-h) \left(-2 h \sqrt{g (h-y) (h+l-y)^2 (-h+l+y)^2 \left(g (h-y)^3+h l^2\right)}+2 y \sqrt{g (h-y) (h+l-y)^2 (-h+l+y)^2 \left(g (h-y)^3+h l^2\right)}+2 g (h-y)^3 (h-l-y) (h+l-y)+h l^2 (h-l-y) (h+l-y)\right)$$

En general, si tenemos una función de varios parámetros independientes (es decir $f(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ ), y queremos calcular el error en $f$ escribiríamos:

$$\delta f = \sqrt{\sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i \right)^2}$$

En este caso $x^2$ sólo depende de $y$ y su error proviene del error en $y$ :

$$\delta (x^2) = \left| \frac{\partial (x^2)}{\partial y} \delta y\right| = x^2 \left|\frac{ \left(-g (h-y)^3 \left(3 (h-y)^2-l^2\right)+3 h \sqrt{g (h-y) (h+l-y)^2 (-h+l+y)^2 \left(g (h-y)^3+h l^2\right)}-3 y \sqrt{g (h-y) (h+l-y)^2 (-h+l+y)^2 \left(g (h-y)^3+h l^2\right)}+h l^2 \left(l^2-3 (h-y)^2\right) \right)}{(h-y) (h-l-y) (h+l-y) \left(g (h-y)^3+h l^2\right)} \delta y\right|$$

¡Ni siquiera encaja bien! De todos modos, poniendo todos los números correspondientes, encontramos:

$$\frac{\delta (x^2)}{x^2} \approx 0.52 \delta y$$

Lo que me parece un resultado decente. Tenga en cuenta, esta ecuación final sólo es cierto para los valores dados en este enlace , a saber $h=9.7 \text{cm}, y=17.5 \text{cm}, l=60\text{cm} \ \text{and}\ g=980 \text{cm}\text{.s}^{-2}$ .

Answer 2

Verticalmente:

$\ddot{y}=a$

$\frac{d\dot{y}}{dt}=a\therefore \int d\dot{y}=\int adt\therefore \dot{y}=u\sin\theta +at$

$\frac{dy}{dt}=u\sin\theta +at\therefore \int dy=\int \left ( u\sin\theta +at \right )dt\therefore y=u\sin\theta t+\frac{a}{2}t^{2}$

Horizontalmente:

$\ddot{x}=0$

$\frac{d\dot{x}}{dt}=0\therefore \int d\dot{x}=\int 0dt\therefore \dot{x}=u\cos\theta$

$\frac{dx}{dt}=u\cos\theta\therefore x=u\cos\theta t$

Conocemos el gradiente de la gráfica de $\frac{x^{2}}{y}=m$ ( $m$ es el gradiente, medido en $cm$ ) Sub $x=u\cos\theta t$ y $y=\frac{a}{2}t^{2}$

$\therefore u\cos\theta=\sqrt{\frac{\frac{a}{2}m}{100}}m/s$

Teóricamente, $u\cos\theta$ se puede encontrar considerando la conversión de la energía potencial gravitacional en energía cinética, suponiendo que no hay pérdidas de energía

$\therefore mah=\frac{1}{2}m\left (u\cos\theta \right )^{2}\therefore u\cos\theta=\sqrt{2ah}$

Answer 3

Hay un "error" en su razonamiento. La velocidad de la bola al final de la rampa es no dado por $v=\sqrt{2gh}$ . Esto supone que el balón diapositivas por la rampa. Presumiblemente rueda y gana energía cinética de rotación y de traslación. Si la bola tiene una densidad uniforme y rueda sin resbalar, entonces la velocidad después de rodar por una pendiente es $v=\sqrt{\frac{10}{7}gh}$ que es más pequeño. Si la rampa es bastante empinada podría haber una mezcla de rodamiento y deslizamiento, por lo que la velocidad de lanzamiento estará en algún lugar entre los dos valores.