Si $[K:F]$ es un primo, entonces $K=F(a)$ por cada $a\in K - F$ .

Question

Esta pregunta tiene su origen en el Álgebra Abstracta de Pinter, capítulo 28, ejercicio D3.

Pruébalo: Si $[K:F]$ es un primo, entonces $K=F(a)$ por cada $a\in K - F$ .

Para cada elemento $a\in K - F$ ,

1. $a$ es algebraico sobre $F$ . Por lo tanto, $F(a)$ es una extensión de campo de $F$ . Sólo hay tres posibilidades: (i) $F(a) = K$ (ii) $F(a) \subset K$ o (iii) $K \subset F(a)$ .
2. $F(a)\ne F$ como se ha dado.
3. Dado $[K:F]$ es primo, no hay ningún campo propiamente dicho entre $F$ y $K$ . Por lo tanto, (ii) no es posible.
4. $K\not\subset F(a)$ como $a$ es una combinación lineal de la base de $K$ . Así que (iii) no es posible.

Por lo tanto, $K=F(a)$ por cada $a\in K - F$ .

¿Es esto razonable?

Answer 1

¿Cómo $3$ y $4$ demostrar que $F(a)$ debe ser igual a $K$ ? Ni siquiera has mencionado que es un subcampo.

Aquí hay una solución. $F(a)$ es por definición el subcampo más pequeño de $K$ que contiene el campo $F$ y el elemento $a$ . Así que $F(a)\subseteq K$ . Entonces, por la ley de la torre $[K:F]=[K:F(a)][F(a):F]$ . Desde $[K:F]=p$ es un número primo concluimos que $[F(a):F]=1$ o $[F(a):F]=p$ . Pero este grado de extensión no puede ser $1$ porque $a\in K\setminus F$ Por lo tanto $F(a)\ne F$ . Así que $[F(a):F]=p$ y por lo tanto $[K:F(a)]=1$ . Esto significa que $K=F(a)$ .