Intuición de la covarianza del movimiento browniano

Question

Así, la covarianza entre dos instancias temporales del movimiento browniano es $$\text{Cov}(B_s, B_t) = \min(s,t).$$

Este puesto da una derivación de este hecho, pero me falta intuición.

Supongamos que $\epsilon \ll 1 $ es pequeño y $t$ es mayor. Entonces $$ \text{Cov}(B_\epsilon, B_t) = \epsilon,$$ $$\text{Cov}(B_{t+\epsilon}, B_{2t}) = t+\epsilon.$$

En ambos casos el paso de tiempo es $t-\epsilon$ pero las covarianzas son drásticamente diferentes.

El movimiento browniano es estacionario, ¿por qué es esto cierto? (Y si no, ¿qué estoy haciendo mal?)

Answer 1

Básicamente estás diciendo $X-Y$ y $Z-W$ tiene la misma distribución, por qué $\mathrm{Cov}(X,Y)$ puede ser muy diferente de $\mathrm{Cov}(Z,W)$ ? Piensa en un ejemplo de bebé: $X$ tiene alguna distribución con gran varianza, toma $Y = X+ c$ , donde $c$ es una constante. Ahora digamos $Z$ tiene alguna distribución con una varianza pequeña, toma $W = Z+ c$ . ¿Puedes ver que $\mathrm{Cov}(X,Y)$ puede ser mucho mayor que $\mathrm{Cov}(Z,W)$ ?

Answer 2

Su cálculo es correcto. Sin embargo, el movimiento browniano en sí no es un proceso estacionario. Es incrementos son sin embargo. Esto significa que para cualquier $\epsilon>0$ el proceso $\{B_{t+\epsilon}-B_t\}_{t\geq 0}$ es estacionario, es decir, tiene la misma distribución. En particular, estableciendo $t=0$ conseguimos que $B_{t+\epsilon}-B_t$ es igual en distribución a $B_\epsilon-B_0$ y por lo tanto a $B_\epsilon$ .