Por qué $B=\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z^{+}}\}$ no tiene un elemento más pequeño?

Question

Estoy estudiando de algunas diapositivas donde hay escrito que $B=\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z^{+}}\} = \{1,1/2,1/3,1/4, \mid\}$ no tiene un elemento más pequeño pero sí tiene un g.l.b (infimo)

Tengo entendido que tiene un mayor límite inferior , que debería ser $0$ pero no puedo entender por qué no tiene un elemento más pequeño, que en mi opinión es incorrecto, ya que $\frac{1}{1}$ o $1$ debe ser el elemento más pequeño.

Answer 1

Dejemos que $x \in B$ y suponer por contradicción que $x$ es el elemento más pequeño de $B$ . Desde $x \in B$ existe $n \in \Bbb Z^+$ tal que $x = \frac{1}{n}$ . Pero entonces $y = \frac{1}{n+1}$ es tal que $y <x$ y $y \in B $ , una contradicción con el hecho de que $x$ es el elemento más pequeño de $B$ .

Answer 2

Supongamos que $b\in B$  es un elemento mínimo. Entonces, debe tener la propiedad de que $b\leq c$  para cualquier $c\in B$ . Pero $b$ debe ser de la forma $b=1/n$ para algún número entero positivo $n$ . Entonces, $c=1/(n+1)\in B$ pero $b=1/n>1/(n+1)=c$ , una contradicción con $b$ siendo el elemento más pequeño. Por lo tanto, no $b\in B$ puede ser un elemento más pequeño, por lo que $B$ no tiene ningún elemento de este tipo.

Tenga en cuenta que como $0=\inf\{b\,|\,b\in B\}$ , $0$ sería un elemento mínimo si $0$ eran un elemento de $B$ . El problema es que $0\notin B$ .

Answer 3

Una pista: Con la ordenación estándar de los racionales inducida por la recta numérica $\Bbb{R}$ que tenemos: $$1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\cdots>\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}>\cdots >0.$$