Propiedad distributiva de la multiplicación escalar sobre la suma escalar

Question

Necesito ayuda con una demostración sencilla de la propiedad distributiva de la multiplicación escalar sobre la suma escalar.

Ayuda para demostrar esta definición: $(r + s) X = rX + rY$

Tengo que demostrar la veracidad de la definición para un espacio vectorial. Sé que $X= (a_1,b_1)$ . Por favor, que alguien me ayude, llevo tres días atascado en esta prueba.

Sea el vector $X$ en $R^2$ estar representado por $X = (a_1,b_1)$ donde $a_1$ y $b_1$ son números reales $r$ y $s$ son escalares reales

Answer 1

Tienes que distinguir entre las leyes de asociatividad, distributividad, etc para el campo subyacente (Reales) del espacio vectorial y las leyes que estás tratando de demostrar sobre el espacio vectorial. Cuando la goma golpea el camino, usted está tratando con los reales, por lo que puede aplicar los axiomas de campo familiar que usted debe saber, la prueba requiere que su correctamente transformar cada línea correctamente mediante la aplicación de las leyes del campo y / o los axiomas del espacio vectorial. Aquí tienes un esquema:

\begin {align*} LHS &= (r + s) X \\\ &= (r+s)(a_1,b_1) \\\ &= ( (r+s)a_1, (r+s)b_1) \hspace {3.5em} \text { (multiplicación escalar del vector en el espacio vectorial)} \\\ &= ( r \cdot a_1 + s \cdot a_1, r \cdot b_1 + s \cdot b_1) \hspace {0,5em} \text {(suma distributiva sobre multiplicación de } \\\ & \hspace {14,5em} \text {campo subyacente del espacio vectorial, $r,s,a_1, b_1 \in \mathbb{R}$ )} \\\ \end {align*}

\begin {align*} RHS &= rX + sX \\\ &= r(a_1,b_1) + s(a_1,b_1) \\\ &= (r \cdot a_1 , r \cdot b_1) + (s \cdot a_1 , s \cdot b_1) \hspace {1em} \text { (multiplicación escalar del vector en el espacio vectorial)} \\\ &= ( r \cdot a_1 + s \cdot a_1, r.b_1 + s \cdot b_1) \hspace {1,5em} \text {(suma de vectores en el espacio vectorial)} \\\ &= ((r+s)a_1 , (r+s)b_1) \hspace {4,5em} \text {(suma distributiva sobre la multiplicación} \\\ & \hspace {15em} \text {del campo subyacente en el espacio vectorial)} \\\ &= (r+s)X \hspace {9,5em} \text {(multiplicación escalar del vector en el espacio vectorial)} \\\ \end {align*}

Llegamos a lo mismo así que, RHS y LHS son iguales, esa es la prueba.

Answer 2

Creo que lo siguiente es lo que pides demostrar : (r+s)X =rX+sX para X =(a,b)

Por distributividad del escalar sobre el vector y usando las propiedades del espacio vectorial; tenemos : Prueba : (r+s) (a,b) = {(r+s)a, (r+s)b} = {ra+sa, rb+sb} = (ra, rb) + (sa, sb) = r (a, b) + s (a,b).

Espero que esto ayude.

Answer 3

Dado que una interpretación geométrica de la condición $(r+s)X=rX+sX$ ( $r,s\in\mathbb{R}$ , $X\in\mathbb{R}^2$ ) se ha preguntado, permítanme intentar añadirla a las respuestas ya existentes.

Geométricamente hablando, un vector en $\mathbb{R}^2$ (y con esto me refiero a un Vector euclidiano ) es una clase de equivalencia de segmentos dirigidos. Sea $A$ y $B$ sean dos puntos (eventualmente diferentes) del plano. Un segmento dirigido $\overrightarrow{AB}$ es un segmento de línea que conecta $A$ y $B$ y orientado desde $A$ a $B$ (representado por una flecha de $A$ a $B$ ). Dos segmentos dirigidos son equivalentes si existe una traslación que envía uno a otro. Un vector es el conjunto de todos los segmentos lineales dirigidos que son equivalentes entre sí se caracteriza por una longitud (la norma o magnitud del vector), una dirección (la línea sobre la que vive el segmento) y una orientación (la dirección de la flecha). Como un vector es simplemente un representante de una clase de equivalencia, podemos representarlo como un segmento orientado que conecta $O=(0,0)$ a otro punto del plano. Con esta convención, el segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ es el vector $X:=\overrightarrow{OX}$ (que representa la clase de $\overrightarrow{AB}$ ) aplicado al punto $A$ es decir, a partir de $A$ (o, de forma equivalente, con cola coincidente con $A$ ).

Dejemos que $X$ sea un vector. Si $r\in\mathbb{R}$ entonces $rX$ es el vector que tiene la misma dirección que $X$ , longitud $|r|$ veces la longitud de $X$ y la orientación es la misma que $X$ si $r>0$ , lo contrario de $X$ si $r<0$ . Si $X$ y $Y$ son dos vectores, entonces $X+Y$ es el vector obtenido por la unión cabeza-cola de $X$ y $Y$ (recordemos que $Y$ es un representante de una clase de equivalencia de segmentos orientados).

Ahora, dejemos que $r,s\in\mathbb{R}$ . En aras de la claridad, supongamos que $r>0$ y $s<0$ (las demás combinaciones se tratan de forma análoga). Por un lado, el vector $rX+sX$ se obtiene uniendo la cola de $rX$ (es decir $O$ ) con la cabeza del vector $sX$ aplicado a la cabeza de $rX$ . Desde $sX$ tiene la misma dirección de $rX$ , orientación y longitud opuestas $|s|$ veces la longitud de $X$ el vector resultante $rX+sX$ tendrá la misma dirección que $X$ , longitud $\big||r|-|s|\big|$ veces la longitud de $X$ y la dirección que es la misma que $X$ si $|r|-|s|>0$ , lo contrario de lo que ocurre con $X$ si $|r|-|s|<0$ . Por otro lado, el vector $(r+s)X$ tiene la misma dirección que $X$ , longitud $|r+s|=\big||r|-|s|\big|$ veces la longitud de $X$ y la dirección que es la misma que $X$ si $|r|-|s|>0$ , lo contrario de lo que ocurre con $X$ si $|r|-|s|<0$ . En resumen, los vectores $(r+s)X$ y $rX+sX$ son iguales (o, más exactamente, representan la misma clase de equivalencia. Se puede replicar el argumento anterior eligiendo cualquier segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ en lugar de $X:=\overrightarrow{OX}$ ).

El siguiente enlace permite jugar con esta idea: Geogebra .