No entiendo una parte de la prueba de Bernstein / Deligne-Morgan de Poincaré-Birkhoff-Witt

Question

Pregunta: Me refiero a la prueba dada en las páginas 50-52 de Pierre Deligne, Pavel Etingof, Daniel S. Freed, Lisa C. Jeffrey, David Kazhdan, John W. Morgan, David R. Morrison y Edward Witten (editores), Campos y Cuerdas Cuánticas: Un curso para matemáticos Volumen 1, AMS 1999 (en libros de google y en las fuentes habituales de Internet).

El problema es fácil de describir: En la mitad de la página 52, los autores dicen "y (1.3.7.7) da que [...]". Pero no veo cómo (1.3.7.7) da la ecuación que sigue.

Notas al margen: La prueba era bastante legible y estaba bien escrita hasta ese momento, así que asumo que la ceguera está de mi parte. Si alguien desea leer la prueba (o reimprimir el libro ;) ), aquí hay algunos errores menores a los que hay que prestar atención:

• En la página 51, $\left[xy\right]$ debe ser $\left[x,y\right]$ en "mientras que el segundo término $\frac12\left[xy\right]$ es antisimétrico".

• En la página 51, en la definición del mapa $\left\lbrace x_1,...,x_{n+1}\right\rbrace$ los tres términos de la derecha deben terminar en $x_{n+1}$ en lugar de $x_n$ .

• En la página 52, en la primera fórmula de esta página, los conmutadores $\left[x\left[y,z\right]\right]$ y $\left[z\left[x,y\right]\right]$ debe ser $\left[x,\left[y,z\right]\right]$ y $\left[z,\left[x,y\right]\right]$ en su lugar.

• En la página 52, en la mitad de esta página, "y el $\left\lbrace x_1,...,x_n\right\rbrace$ desaparecer" probablemente debería ser "y el $\left\lbrace x_1,...,x_{n+1}\right\rbrace$ desaparecer".

• En la página 52, en medio de esta página, "1.3.7.4" debería ser "(1.3.7.4)".

Answer 1

He aquí una explicación que Pavel Etingof me ha dado por correo electrónico. ¡Gracias Pavel!

Cada $\sigma\in S_{n}$ satisface

$\sum\limits_{i}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast\left[ x,y_{\sigma i}\right] \ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$+\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast\left[ x,y_{\sigma i}\right] \ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

Pero como

$\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast\underbrace{\displaystyle \left[ x,y_{\sigma i}\right] }_{\displaystyle\substack{\displaystyle =x\ast y_{\sigma i}-y_{\sigma i}\ast x\\\displaystyle \text{(since the inclusion of }\mathfrak{L}\\\displaystyle \text{into }\operatorname*{Sym} \nolimits^{\ast}\mathfrak{L}\text{ is a morphism}\\\displaystyle \text{of Lie algebras)} }}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast\underbrace{\displaystyle \left( x\ast y_{\sigma i}-y_{\sigma i}\ast x\right) \ast\cdots\ast y_{\sigma n} }_{\substack{\displaystyle =x\ast y_{\sigma i}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}-y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}\\\displaystyle \text{(by the induction hypothesis, since }i>1\text{)}}}$

$=\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast x\ast y_{\sigma i}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$= \sum\limits_{i>0}\left( n-\left( i+1\right) +1\right) \underbrace{\displaystyle y_{\sigma1}\ast\cdots\ast x\ast y_{\sigma \left(i+1\right)}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}}_{\displaystyle =y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}}$

$-\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ (aquí hemos sustituido $i+1$ para $i$ en la primera suma)

$=\sum\limits_{i>0}\left( n-\left( i+1\right) +1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-\sum\limits_{i>1}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=\left( n-1\right) y_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}-\sum\limits _{i>1}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ ,

esto se convierte en

$\sum\limits_{i}\left( n-i+1\right) y_{\sigma1}\ast\cdots\ast\left[ x,y_{\sigma i}\right] \ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+\left( n-1\right) y_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-\sum\limits_{i>1}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+ny_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-y_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}-\sum\limits_{i>1}y_{\sigma1}\ast \cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+ny_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-\sum\limits_{i>0}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

Así, (1.3.7.7) se reescribe como

$\dfrac{1}{n!}x\ast\sum\limits_{\sigma}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}=\left( \text{symmetrized product of }x,y_{1},...,y_{n}\right) $

$+\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}ny_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$-\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}\sum\limits_{i>0}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

Desde

$\left( \text{symmetrized product of }x,y_{1},...,y_{n}\right) $

$=\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}\left( \sum\limits_{i>0}y_{\sigma1} \ast\cdots\ast y_{\sigma i}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+x\ast y_{\sigma 1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}\right) $ ,

esto se simplifica a

$\dfrac{1}{n!}x\ast\sum\limits_{\sigma}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n} =\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}x\ast y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$+\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}ny_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

Así,

$\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}n\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}ny_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=\dfrac{1}{n!}x\ast\sum\limits_{\sigma}y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n} -\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}x\ast y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=\underbrace{\displaystyle \left( \dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}\right) }_{\displaystyle =\dfrac{n}{\left( n+1\right) !}}\sum\limits_{\sigma}x\ast y_{\sigma1}\ast \cdots\ast y_{\sigma n}=\dfrac{n}{\left( n+1\right) !}\sum\limits_{\sigma}x\ast y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

Dividir esto por $\dfrac{n}{\left( n+1\right) !}$ para obtener

$\sum\limits_{\sigma}\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}+\sum\limits_{\sigma}y_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$

$=\sum\limits_{\sigma}x\ast y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}$ .

En otras palabras,

$0=\sum\limits_{\sigma}\left( x\ast y_{\sigma1}\ast\cdots\ast y_{\sigma n} -y_{\sigma1}\ast x\ast\cdots\ast y_{\sigma n}-\left[ x,y_{\sigma1}\right] \ast y_{\sigma2}\ast\cdots\ast y_{\sigma n}\right) $

$=\sum\limits_{\sigma}\left\lbrace x,y_{\sigma1},...,y_{\sigma n}\right\rbrace =\left( n-1\right) !\sum\limits_{i}\left\lbrace x,y_{i},y_{1},...,\widehat{y_{i}},...,y_{n} \right\rbrace $

(aquí usamos que $\left\lbrace x_{1},...,x_{n+1}\right\rbrace $ es simétrica en el último $n-1$ variables, de modo que cada $\sigma\in S_{n}$ satisface $\left\lbrace x,y_{\sigma1},...,y_{\sigma n}\right\rbrace =\left\lbrace x,y_{i},y_{1} ,...,\widehat{y_{i}},...,y_{n}\right\rbrace $ para $i=\sigma1$ ).

Así, $\sum\limits_{i}\left\lbrace x,y_{i},y_{1},...,\widehat{y_{i}},...,y_{n}\right\rbrace =0$ , qed.