Quiero demostrar que $A=\cup_{n=1}^{\infty} A_n$

Question

Dejemos que $A=\{x\in X: \varphi(x)>0\}$ y

$A_n=\{x\in X: \varphi(x)\geq1/n\}$ (en aumento)

Quiero demostrar que $A=\cup_{n=1}^{\infty} A_n$

Answer 1

Está claro que $A_n\subseteq A$ así que

$\bigcup_{n}A_n\subseteq A$ .

Dejemos que $x\in A$ entonces $\phi(x)>0$ por lo que existe un número natural $N$ tal que

$\phi(x)\geq \frac{1}{N}$

Así, $x\in A_N$