Teorema de Sokhotski-Plemelj para la recta real

Question

El teorema de Sokhotski-Plemelj para la recta real se enuncia en https://en.wikipedia.org/wiki/Sokhotski-Plemelj_theorem :

Teorema de Sokhotski-Plemelj. Dejemos que $f$ sea una función de valor complejo definida y continua en la recta real, y sea $a$ , $b$ y $x_0$ sean constantes reales con ${\displaystyle a<x_0<b}$ . Entonces $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x-x_0\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(x_0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x-x_0}}\,dx.}$$

También deduzco de Confusión sobre el teorema de Sokhotski-Plemelj: dos valores diferentes para la misma integral real que existe una versión más general del teorema que es válida sobre toda la recta real, de modo que, bajo algunas hipótesis suaves sobre $f(x)$ , uno tiene $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {f(x)}{x-x_0\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(x_0)+{\mathcal {P}}\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {f(x)}{x-x_0}}\,dx.}$$

Mi pregunta es: ¿qué hipótesis (leve) sobre $f(x)$ son suficientes para que se cumpla la versión más general expuesta anteriormente? También estoy buscando una prueba o una referencia apropiada.

Answer 1

La primera versión también es válida para $a,b\in\overline{\mathbb{R}}=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ . La parte importante del teorema de Sokhotski-Plemelj es la integración alrededor de $x_0$ y no sobre los límites de la integral. No basta con decir que $f$ debe ser continua. La función tampoco puede tener una vecindad de singularidades alrededor de $[a,b]$ . Tenga en cuenta esto en el resultado final.

Prueba: Definir el contorno $C=[a,x_0-\delta]\cup C_{x_0,\delta}\cup [x_0+\delta,b]$ , donde $C_{x_0,\delta}$ es una trayectoria semicircular de radio $\delta$ centrado en $x_0$ con $\delta>0$ . Entonces para $\delta\to0^+$ $$\int_C\frac{f(x)}{x-x_0}\,\mathrm{d}x=\mathcal P\int_a^b \frac{f(x)}{x-x_0}\,\mathrm{d}x+\int_{C_{x_0,\delta}}\frac{f(x)}{x-x_0}\,\mathrm{d}x.$$ Obsérvese que el contorno $C_{x_0,\delta}$ puede parametrizarse como $x=x_0+\delta e^{i\varphi}$ para $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$ o $-\pi\leqslant\varphi\leqslant0$ . Tomando $\delta\to0^+$ , $$\lim_{\delta\to0^+}\int_{\pm\pi}^0\frac{f(x_0+\delta e^{i\varphi})}{\delta e^{i\varphi}}i\delta e^{i\varphi}\,\mathrm{d}\varphi=f(x_0)\lim_{\delta\to0^+}\int_{\pm\pi}^0\frac{i\delta e^{i\varphi}}{\delta e^{i\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi=\mp i\pi f(x_0).$$
Fuimos capaces de tirar del límite dentro $f$ ya que por definición es continua en la recta real. Suponiendo que $f$ no tiene ninguna vecindad de singularidades alrededor del intervalo $[a,b]$ podemos deformar el contorno $C$ en una línea recta, que va desde $a +i\varepsilon$ a $b+i\varepsilon$ Así que $$\int_C\frac{f(x)}{x-x_0}\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a\pm i\varepsilon}^{b\pm i\varepsilon}\frac{f(x)}{x-x_0}\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a}^{b}\frac{f(x\pm i\varepsilon)}{x-x_0\pm i\varepsilon}\,\mathrm{d}x.$$
Podemos tirar del límite en el interior $f$ de nuevo ya que la función es continua en la recta real. El resultado final es $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x-x_0\pm i\varepsilon }}\,\mathrm{d}x=\mp i\pi f(x_0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x-x_0}}\,\mathrm{d}x},$$ donde $a<x_0<b$ y $a,b \in\overline{\mathbb{R}}$ .