¿Cuál es la razón de la mitad en la gaussiana de la pdf normal (es decir : por qué $\exp(-x^{2}/2)$ en lugar de $\exp(-x^{2})$ )

Question

No parece estar relacionado con la normalización, ya que la constante normalizadora se adapta a cada posible "formulación de arriba", y en el caso estándar es $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ . ¿Está relacionado con supuestos probabilísticos fundamentales o con propiedades funcionales útiles?

Answer 1

Es para la normalización, para asegurar que la varianza es $1$ .

Answer 2

y observe que como la media es cero por simetría, se puede calcular la varianza de forma bastante sencilla. con el parámetro $a$ para la distribución, la varianza es: $$ v = \frac {I_a(x^2)}{I_a(1)} \\ $$ donde $$ I_a(f(x)) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) exp(-ax^2)dx $$ una integración directa por partes da: $$ I_a(x^2) = \frac1{2a}I_a(1) $$ por lo que para $v=1$ requerimos $a=\frac12$