Para $\alpha>0,\lambda>0$ Estoy tratando de evaluar la integral
$$I(\alpha,\lambda)=\int_{\mathbb R}\frac{e^{-\alpha y}}{(1+e^{-y})^{1+\lambda}}\,\mathrm{d}y$$
Básicamente estoy luchando por encontrar una sustitución adecuada aquí.
Puedo escribir
$$I(\alpha,\lambda)=\int_{\mathbb R}e^{(1-\alpha)y}\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y})^{1+\lambda}}\,\mathrm{d}y$$
Cambio de variables $$z=\frac{1}{(1+e^{-y})^{(1+\lambda)/2}}$$
para que $$\mathrm{d}z=\left(\frac{1+\lambda}{2}\right)(1+e^{-y})^{\frac{\lambda-1}{\lambda+1}}\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y})^{1+\lambda}}\,\mathrm{d}y\tag{1}$$
Ahora,
\begin {align} & \qquad\quad z(1+e^{-y})^{(1+ \lambda )/2}=1 \\ & \implies \ln z+ \left ( \frac {1+ \lambda }{2} \right ) \ln (1+e^{-y})=0 \\ & \implies \ln (1+e^{-y})=- \frac {2}{1+ \lambda } \ln z \\ & \implies e^{-y}= \exp\left (- \frac {2}{1+ \lambda } \ln z \right )-1=z^{-2/(1+ \lambda )}-1 \end {align}
Desde $(1)$ Me sale $$\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y})^{1+\lambda}}\,\mathrm{d}y=\left(\frac{2}{1+\lambda}\right)z^{\frac{\lambda-1}{\lambda+1}}\,\mathrm{d}z$$
Y
$$e^{(1-\alpha)y}=(e^{-y})^{-(1-\alpha)}=\left(z^{-2/(1+\lambda)}-1\right)^{\alpha-1}$$
Así que finalmente,
$$I(\alpha,\lambda)=\frac{2}{1+\lambda}\int_0^1 \left(z^{-2/(1+\lambda)}-1\right)^{\alpha-1}z^{\frac{\lambda-1}{\lambda+1}}\,\mathrm{d}z$$
He transformado el dominio de integración en $(0,1)$ para poder utilizar la función Beta y así obtener una respuesta en términos de funciones Gamma. Pero parece que he cometido un error en alguna parte.
También intenté escribir $$\frac{1}{(1+e^{-y})^{1+\lambda}}=\sum_{j=0}^\infty \binom{-(1+\lambda)}{j}e^{-yj}$$
para que
\begin {align} I( \alpha , \lambda )&= \int_ { \mathbb R} e^{- \alpha y} \sum_ {j=0}^ \infty \binom {-(1+ \lambda )}{j}e^{-yj}\N, \mathrm {d}y \\ & \stackrel {?}{=} \sum_ {j=0}^ \infty \binom {-(1+ \lambda )}{j} \int_ { \mathbb R}e^{-( \alpha +j)y}, \mathrm {d}y \end {align}
Pero esto tampoco es correcto.
Según Mathematica Debería conseguir
$$I(\alpha,\lambda)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1+\lambda-\alpha)}{\Gamma(1+\lambda)}\quad,\text{ if }\alpha<1+\lambda$$
