Digamos que se conoce una prueba para la consistencia de un sistema formal (probada dentro del sistema formal). Hay dos casos posibles 1. el sistema formal es consistente y se puede demostrar y se ha demostrado que lo es, o 2. el sistema formal es inconsistente (es decir, contiene una contradicción), por lo que cualquier cosa es demostrable, de ahí la prueba de su consistencia.
¿Hay alguna forma de determinar si es el caso 1 o 2?
El Teorema de Incompletitud de Gödel dice que si un sistema es
entonces no puede demostrar su propia consistencia.
Si su sistema formal puede demostrar su propia consistencia, debe
Así que la cuestión se reduce a si puedes probar $0=1$ en él.
En general, esto es indecidible.
De hecho, este es exactamente el Entcheidungsproblem, si no recuerdo mal.
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