Qué se sabe de la fracción continua infinita
$$1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{16 + \cdots}}} $$
cuyos términos incluyen todos los cuadrados perfectos en orden?
¿Tenemos una expresión de forma cerrada para el valor de este número? ¿Se sabe que es trascendental, o que satisface alguna otra propiedad interesante?
¿Le gustaría $$\frac{138064447330372928950478420048463661504907828497126087600678688613823206940 422174}{1110477976182011935299028840335867265791530004627377300038704099001263 79105352933}$$ obtenido después de $35$ niveles. Su representación decimal es $$1.24328847839971564408249654539442949923120026119744688506649745988163 032233825$$ que no es reconocido por las calculadoras simbólicas inversas pero que, gracias a un amigo mío que disfruta con este tipo de problemas está "cerca" de $$\frac{\exp\left(-\frac{10}{11}+\frac{35}{11 e}+\frac{57 e}{11}+\frac{49}{11 \pi }-\frac{18 \pi }{11} \right)\, \pi ^{\frac{4-39e}{11}}}{\sin ^{\frac{9}{11}}(e \pi ) }$$ correspondiente a un error relativo de $1.72\times 10^{-20} \text{ %}$
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