El problema. Consideremos el problema de valor límite: \begin {casos} \Delta u(x,y)+2u(x,y)=x- \alpha , & \text {en $\Omega$ ,} \\ u(x,y)=0, & \text {en $\partial\Omega$ ,} \\ \end {casos} donde $\alpha$ es real, $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ y $\Omega=(0,\pi)\times(0,\pi)$ . La cuestión es para qué $\alpha$ tenemos al menos una solución débil para esta EDP.
Función $u$ se dice que es una solución débil de este problema si $u\in H_0^1(\Omega)$ y la ecuación se satisface en el sentido de las distribuciones.
Solución. Para resolver este problema debemos utilizar Alternativa de Fredholm . Para nuestro caso tiene la forma (formal):
$Lu=f$ tiene solución para todos los permisibles $f$ que satisface $(f,v)_{L^2(\Omega)}=\int_\Omega fv\,dx=0$ donde v es la solución de la ecuación homogénea adjunta $L^*v=0$ .
La ecuación homogénea adjunta tiene la siguiente forma:
\begin {casos} \Delta v(x,y)+2v(x,y)=0, & \text {en $\Omega$ ,} \\ v(x,y)=0, & \text {en $\partial\Omega$ ,} \\ \end {casos}
Para resolverlo puedes utilizar el método llamado separación de variables, en el rectángulo las variables se separan muy fácilmente. Se obtiene $v(x,y)=C\,sinx\,siny$ , donde $C$ es una constante arbitraria. Fijamos $C=1$ .
Ahora podemos encontrar fácilmente para qué $f$ nuestra ecuación principal tiene al menos una solución.
$$(f,v)_{L^2(\Omega)}=\int_\Omega fv\,dx=\int_\Omega(x-\alpha)sinx\,siny\,dx=2\pi-4\alpha=0 \text{ when } \alpha=\frac{Pi}{2}$$
