¿Por qué un polinomio irreducible se divide en factores irreducibles de igual grado sobre una extensión de Galois?

Question

He estado luchando por probar este hecho durante los últimos días.

Supongamos que $f(x)\in F[X]$ es irreducible sobre un campo $F$ con $\deg(f)=n$ y que $L$ sea el campo de división de $f(x)$ en $F$ con $\alpha$ una raíz de $f(x)$ en $L$ . Sea $K/F$ sea una extensión de Galois, con $K\subset L$ . Entonces, ¿por qué $f(x)$ dividido en un producto de $m$ polinomios irreducibles de grado $d$ en $K$ con $m=[F(\alpha)\cap K:F]$ y $d=[K(\alpha):K]$ ?

Si $G$ es el grupo de Galois de $L/F$ , entonces dejo que $H$ sea el correspondiente subgrupo de $K$ , lo cual es normal ya que $K/F$ es Galois. Yo sé $H$ permuta las raíces de $f(x)$ , concretamente fijando las raíces de $f(x)$ en $K$ . Conozco algunas igualdades básicas como $[F(\alpha):F]=n$ y $[K:F]=|G:H|$ pero no veo cómo empezar una buena discusión.

¿Cuál es una buena manera de probar esto, o al menos de proceder? Gracias por cualquier idea.

Answer 1

Factor $f(x)$ en irreducibles en $K[x]$ , $$f(x) = q_1(x)\cdots q_m(x).$$

Si $\alpha$ es una raíz de $q_1(x)$ y $\beta$ es una raíz de $q_i(x)$ entonces $q_1(x)$ es el polinomio irreducible de $\alpha$ en $K$ y $q_i(x)$ es el polinomio irreducible de $\beta$ en $K$ .

Dado que la acción de $G$ es transitiva en las raíces de $f$ existe $\sigma\in G$ tal que $\sigma(\alpha)=\beta$ . Desde $K$ es Galois, $\sigma(K)=K$ Así que $\sigma(q_1(x))\in K[x]$ es un polinomio que tiene $\sigma(\alpha)=\beta$ como raíz. Por lo tanto, $q_i(x)|\sigma(q_1(x))$ . Como ambos son irreducibles, se deduce que $\deg(q_i) = \deg(\sigma(q_1))=\deg(q_1)$ . Así que todos los factores irreducibles de $f(x)$ en $K$ tienen el mismo grado.

El grado es igual al grado de la extensión $K(\alpha)/K$ (que es el grado de $q_1(x)$ ).

A por $m$ , el número de factores, tenemos: $n=[F(\alpha):F] = [F(\alpha):F(\alpha)\cap K][F(\alpha)\cap K:F]$ .

Afirmo que $[F(\alpha):F(\alpha)\cap K] = [K(\alpha):K]$ .

De hecho, desde $K$ es Galois sobre $F$ entonces $K(\alpha)$ es Galois sobre $F(\alpha)$ ( $K$ es el campo de división de algún polinomio sobre $F$ y este mismo polinomio funciona para $K(\alpha)$ ), y $K$ es Galois sobre $K\cap F(\alpha)$ . Si $\sigma\in\mathrm{Gal}(K(\alpha)/F(\alpha))$ , entonces restringiendo $\sigma$ a $K$ da un homomorfismo $\mathrm{Gal}(K(\alpha)/F(\alpha))\to \mathrm{Gal}(K/K\cap F(\alpha))$ . Si $\sigma$ se limita a la identidad en $K$ entonces debe ser la identidad en $K(\alpha)$ (fija $\alpha$ ya que fija $F(\alpha)$ en forma de punto), por lo que el mapa $\mathrm{Gal}(K(\alpha)/F(\alpha))\to \mathrm{Gal}(K/K\cap F(\alpha))$ es uno a uno.

Dejemos que $H'$ sea la imagen de este mapa. A continuación, $H'$ fija $K\cap F(\alpha)$ en el punto, y si $k\in K$ está fijada por todos los elementos de $H'$ entonces $k$ debe ser fijado por todos los elementos de $\mathrm{Gal}(K(\alpha)/F(\alpha))$ Por lo tanto $k\in F(\alpha)\cap K$ . Así que $F(\alpha)\cap K$ es el campo fijo de $H'$ Por lo tanto $H'=\mathrm{Gal}(K/K\cap F(\alpha))$ .

Así, $[K(\alpha):F(\alpha)] = [K:K\cap F(\alpha)]$ .

Ahora, $$\begin{align*} [K(\alpha):K\cap F(\alpha)] &= [K(\alpha):K][K:K\cap F(\alpha)]\\ \text{ and }[K(\alpha):K\cap F(\alpha)] &= [K(\alpha):F(\alpha)][F(\alpha):K\cap F(\alpha)].\end{align*}$$ Por lo tanto, $[K(\alpha):K] = [F(\alpha):K\cap F(\alpha)]$ como se ha reclamado.

Así que tenemos que $$\begin{align*} n &= [F(\alpha):F]= [F(\alpha):F(\alpha)\cap K][F(\alpha)\cap K:F]\\ &= [K(\alpha):K][F(\alpha)\cap K:F] \\ &= d[F(\alpha)\cap K:F]. \end{align*}$$ Desde $n=dm$ entonces $$m = [F(\alpha)\cap K:F],$$ como se ha reclamado.

Para ver la acción de $G$ es transitivo, nótese que $F(\alpha)$ es isomorfo a $F(\beta)$ en $F$ ya que $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo irreducible sobre $F$ por lo que existe un isomorfismo $\sigma\colon F(\alpha)\to F(\beta)$ que restringe a la identidad en $F$ y envía $\alpha$ a $\beta$ . Desde $L$ es Galois sobre $F$ y $F(\alpha),F(\beta)\subseteq L$ , $\sigma$ se extiende a un elemento de $G$ .

Answer 2

Esto también puede verse en el contexto de la factorización de ideales primos en extensiones integrales de dominios Dedekind (posiblemente un mazo para una tarea pequeña).

El primo (ideal) $(h(x)) \subset F[x]$ se divide en productos de potencias de ideales primos $\prod_{i=1}^g (h_i(x))^{e_i}$ en $K[x]$ . Entonces, un teorema estándar dice $\sum_{i=1}^g e_if_i= n=[K:F]$ donde $e_i$ son índices de ramificación, $f_i$ grados residuales, y $g$ el número de primos que se encuentran por encima de $f(x)$ . En el caso especial $K$ es Galois sobre $F$ , todos $e_i$ son iguales y todos los $f_i$ son iguales.

Y así tenemos isomorfismos de campos residuales por la acción transitiva de $Gal\,(K/F)$ en el conjunto de $h_j$ 's: $K[x]/(h_i(x))\cong K[x]/(h_j(x))$ . Así que el grado de $h_i(x) = $ grado de $h_j$ . (Como la acción transitiva del grupo de Galois sólo necesita el Teorema del Resto Chino, esta respuesta, espero, no es un argumento circular).