Diferencia entre la expectativa condicional E(Y|X) y E(Y|X=x)

Question

Estoy tratando de resolver este problema y tengo algunas preguntas.

Así que para la parte i), no sé cómo encontrar esta expectativa condicional sin la pura intuición de que parece ser $\frac{3+x}{2}$

parte ii) Esto me confunde conceptualmente porque el lado derecho es sólo X en lugar de "X=x" (así que sólo una X general frente a un número específico). ¿Cómo puedo calcular esto?

parte iii) Necesitaría saber cómo hacer las partes i y ii para describir esto

parte iv) Podría simplemente utilizar la ley de expectativas iteradas aquí, donde E(Y) = E[E(Y|X)]. Bastante sencillo.

¡Cualquier ayuda sería estupenda!

Answer 1

$$ \operatorname E(Y\mid X=x) = \frac{x+3} 2. $$ Desde $x$ no es una variable aleatoria, tampoco lo es $\dfrac{x+3} 2.$

Pero $\operatorname E(Y\mid X) = \dfrac{X+3} 2$ es una variable aleatoria, ya que $X$ es una variable aleatoria.