Dentro de la plaza $MNPK$ punto $O$ de tal manera que $MO:ON:OP =1:2:3$ . Encuentre $\angle MON$ . Intenté resolver este problema con vectores, pero no pude encontrar las coordenadas del punto $O$ . ¿Puede alguien explicarme esto?
Respuestas
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Dejemos que $A,B,C$ sean las reflexiones de $O$ con respecto a $PN,PM,MN$ .
Tenemos $\widehat{BMC}=\widehat{BPA}=90^\circ$ y $\widehat{CNA}=180^\circ$ .
Los lados de $ABC$ seguir la proporción $$AB:AC:BC=\sqrt{2}\,OP:2\,ON:\sqrt{2}\,OM=3\sqrt{2}:4:\sqrt{2}$$ por lo tanto, por el teorema de Pitágoras inverso $\widehat{BCA}=90^\circ$ y $$\widehat{MON}=\widehat{MCA}=\widehat{MCB}+\widehat{BCA}=45^\circ+90^\circ=\color{red}{135^\circ}.$$
rretzbach
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116
Coloca el cuadrado de manera que $M$ es el origen y $N$ se encuentra a lo largo del positivo $x$ -eje. Supongamos que el lado del cuadrado es $a$ que reescalaremos para que $MO = 1$ y luego4 $ON = 2$ y $OP = 3$ . Sea $O$ se encuentra en $(x,y)$ entonces la longitud de $MO$ implica $$ x^2 + y^2 = 1^2 $$ y la longitud de $ON$ implica $$ (a-x)^2 + y^2 = 2^2. $$ Escriba la implicación de la longitud de $OP$ y resolver 3 ecuaciones en 3 incógnitas para encontrar $a,x,y$ . Entonces puedes encontrar el ángulo, por ejemplo, a partir de la ley de los cosenos.
Quanto
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Aplica el teorema de Pitágoras para establecer el sistema de tres ecuaciones
\begin {align} x^2+y^2=4,\>\>\>\️ x^2+(a-y)^2=1,\>\>\️ (a-x)^2+y^2=9 \end {align}
Las ecuaciones 2ª y 3ª conducen a $y=\frac{a^2+3}{2a}$ y $x=\frac{a^2-5}{2a}$ respectivamente. Introdúzcalos en la primera ecuación para obtener $a^4 - 10a^2 +17=0$ , lo que da como resultado $a^2 =5+2\sqrt2$ . A continuación, utilice la regla del coseno para el triángulo OMN para obtener
$$\cos\angle MON = \frac{OM^2+ON^2-a^2}{2|OM||ON|} = \frac{1+4-(5+2\sqrt2)}{2\cdot 1\cdot2}=-\frac{\sqrt2}2$$
Así, $\angle MON =135^\circ$ .
