Comprobar la linealidad de una función que es la diferencia de dos expresiones al cuadrado

Question

Considere la siguiente función $$ \left(\sum_{i=1}^n a_i+1\right)^2-\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 $$ Pregunta: ¿Es esta función siempre lineal en $a_1,..., a_n$ ?

Por ejemplo, si $n=1$ , tenemos $$ a_1^2+1+2a_1-a_1^2=1+2a_1 $$

Si $n=2$ , tenemos $$ (a_1+a_2+1)^2-(a_1+a_2)^2=1+2a_1+2a_2 $$

¿Esto se extiende a cualquier $n$ ?

Answer 1

\begin {align} \left ( \sum_ {i=1}^n a_i+1 \right )^2- \left ( \sum_ {i=1}^n a_i \right )^2 & = \left ( \sum_ {i=1}^n a_i \right )^2+2 \left ( \sum_ {i=1}^n a_i \right )+1 - \left ( \sum_ {i=1}^n a_i \right )^2 \\ & =2 \left ( \sum_ {i=1}^n a_i \right )+1 \\ & =2a_1+2 \left ( \sum_ {i=2}^n a_i \right )+1 \\ \end {align}