Supongamos que $H$ y $K$ están cerradas de forma que $H \cup K$ y $H \cap K$ están conectados. Demostrar que $H$ y $K$ están conectados.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Supongamos que $H$ y $K$ son subconjuntos cerrados de $X$ tal que $H \cup K$ y $H \cap K$ está conectado. Demostrar que $H$ y $K$ están conectados.

Mi trabajo: Asumir para una contradicción que exactamente una $H$ o $K$ no están conectados. Entonces WLOG deja $H$ no estar conectado y por lo tanto $H = A \cup B$ para subconjuntos disjuntos no vacíos de $X$ . Pero entonces,

$$H \cup K = \left(A \cup B \right) \cup K $$ $$H \cap K = \left(A \cup B \right) \cap K = \left(H \cap A\right) \cup \left(H \cap B\right)$$ También tenemos que $Cl(K)=K$ y $Cl(H)=H$ desde $H$ y $K$ están cerradas. También que $Cl(A) \cap B = A \cap Cl(B) = \emptyset$ . No estoy seguro de cómo llegar a una contradicción de esto. Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Me parece que está pensando demasiado en la hipótesis cerrada. En su lugar, exponga una separación por conjuntos cerrados.

No vacío disjunto cerrado subconjuntos $A,B$ sería excelente. Deje que $H=A \cup B$

Una pista: desde $H \cap K \subset H $ implica que pertenece precisamente a uno de $A$ o $B$ ya que está conectado, y su intersección con cualquiera de ellos constituiría una separación en caso contrario. Supongamos que la intersección pertenece a $A$ . Entonces es disjunta de $B$ . ¿Qué puede decir sobre $ (K \cup A) \cup B $ ?

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{D}:=\{0,1\}$ estar equipado con la topología discreta. Basta con demostrar que todo mapa continuo $f: H \to \mathcal{D}$ es constante (para $K$ simplemente repetir el argumento).

Por lo tanto, dejemos que $f: H \to \mathcal{D}$ sea un mapa continuo. Como las restricciones son continuas, $f|_{H \cap K}:H \cap K \to \mathcal{D}$ es continua. Por hipótesis, $H \cap K$ está conectado, y por lo tanto $f|_{H \cap K}$ es constante, digamos igual a $a$ .

Definir $g: H \cup K \to \mathcal{D}$ por $g(x)=f(x)$ si $x \in H$ y $g(x)=a$ si $x \in K$ . Por el lema de pegado, $g$ es continua. Como $H \cup K$ está conectado, $g$ es constante. Por lo tanto, $g|_{H}$ es constante. Pero $g|_H=f$ .