Dejemos que $(x,y)=$ gcd $(x,y)$ y $[x,y]=$ lcm $ (x,y)$ Encontrar todos los números $x,y$ tal que $9(x+y)=[x,y]^{(x,y)}$ .
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clark
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Creo que tengo una solución, pero no estoy seguro. $x=\prod\limits_{k=1}^p p_k^{x_k}$ y que $y=\prod\limits_{k=1}^p p_k^{y_k}$ . Sea $m_k = x_i-y_i $ si $x_i-y_i\geq 0, 0$ si $x_i-y_i<0$ dejar $n_k = y_i-x_i $ si $y_i-x_i\geq 0, 0$ si $y_i-x_i<0$ . Sea $m=\prod\limits_{k=1}^p p_k^{m_k}$ y $n=\prod\limits_{k=1}^p p_k^{n_k}$ .
Se cumplen las siguientes propiedades: (x,y)(mn)=[x,y], (x,y)(m+n)=x+y.y m y n son números primos. $m,n>0$ Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación como
$9([(x,y)(m+n)]=[(x,y)(mn)]^{(x,y)}$ también: $m+n< mn+2$ . Por lo tanto, $9(m+n)< 9mn+18<27mn$ y $mn\leq (mn)^w$ donde w es un número natural
Ahora veo la ecuación para los 4 primeros valores de $(n,m)$ . Sin embargo, sabemos que el número 4 es imposible. Y cualquier número mayor que ese también es imposible.
$9(m+n)=mn$
$9(m+n)=2(mn)^2$
$9(m+n)=9(mn)^3$
$9(m+n)=64(mn)^4$
Por lo tanto, si ocurre que ninguna de las primeras ecuaciones puede resolverse, ningún número x e y satisface el problema.
demostraremos $9(m+n)=9(mn)^3$ no tiene soluciones. $9(m+n)=9(mn)^3 \rightarrow m+n=(mn)^3$ Si $m,n>1$ entonces $2\leq m+n\leq mn$ Por lo tanto, $(mn)^3>m+n.$ si m= 1 entonces $9n+9=9(n)^3 \rightarrow n+1=n^3$ que no tiene soluciones. Por lo tanto, $m+n=(mn)^3$ no tiene soluciones.
La solución a los otros dos problemas la copio de N.S textualmente de soluciones naturales para $9m+9n=mn$ y $9m+9n=2m^2n^2$ $$mn=9n+9m \Rightarrow (m-9)(n-9)=81$$
Esta ecuación es muy fácil de resolver, sólo hay que tener en cuenta que aunque $m,n$ son positivos, $m-9,n-9$ podría ser negativo. Pero sólo hay 6 formas de escribir 81 como producto de dos enteros.
La segunda es más complicada, pero si $mn >9$ entonces es fácil demostrar que
$$2m^2n^2> 18mn > 9m+9n $$
Añadido Además, como $9|2m^2n^2$ se deduce que $3|mn$ . Combinando esto con $mn \leq 9$ y $m|9n, n|9m$ resuelve inmediatamente la ecuación.
P.D. Tu planteamiento también funciona, si haces la división larga polinómica obtendrás $\frac{9n}{n-9}=9 +\frac{81}{n-9}$ . Así, $n-9$ es un divisor de $81$ .
P.P.S. Alternativamente, para la segunda ecuación, si se utiliza $2\sqrt{mn} \leq m+n$ se obtiene
$$18 \sqrt{mn} \leq 9(m+n)=2m^2n^2$$
Así, $$(mn)^3 \geq 81$$ lo que implica $mn=0$ o $mn \geq 5$ .
Por lo tanto, ningún número x, y satisface la condición.
¿Esta prueba es correcta? Gracias.
