Método de Jacobi para cualquier b

Question

Determinar si el método de Jacobi converge para cualquier b para, $$\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

La solución es así...

D-(L+U) = $$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -2\\ -3 & 0 \end{bmatrix}$$

D^{-1}(L+U) = $$\begin{bmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & 1/4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -2\\ -3 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ -\frac{3}{4} & 0 \end{bmatrix}$$ Después de eso tenemos, $$\begin{bmatrix} \lambda & 1\\ \frac{3}{4} & \lambda \end{bmatrix}$$

Y, como $\lambda_{1} = -\sqrt\frac{3}{4}$ y $\lambda_{2} = \sqrt\frac{3}{4}$ , $\rho(A)< 1$ . Este método converge.

Ahora tengo un par de preguntas sobre esto...

1. ¿Por qué tenemos que tomar la inversa cuando la inversa está estrictamente prohibida en el análisis numérico? ¿Podemos utilizar la sustitución directa en su lugar?

2. ¿Cómo se le ocurre a usted $$\begin{bmatrix} \lambda & 1\\ \frac{3}{4} & \lambda \end{bmatrix}$$ de $$\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -\frac{3}{4} & 0 \end{bmatrix}$$ ¿y cambiar el signo? ¿Puede alguien explicarme esto? Gracias.

Answer 1

Pregunta 1:

Utilizaríamos un método estable para encontrar la inversa de la matriz, como la eliminación gaussiana, donde escribimos:

$$[M ~|~ I]$$

Realizando la eliminación gaussiana, terminamos con:

$$[I~ | ~ M^{-1}]$$

Pregunta 2:

Cuando estamos encontrando los valores propios, tenemos la opción de escribir:

$$|A - \lambda I| = 0~ \mbox{or} ~ |\lambda I - A| = 0$$

Ambos enfoques dan exactamente el mismo resultado y algunas personas prefieren uno u otro por diversas razones. En tu ejemplo, han utilizado el segundo.

Utiliza ambos métodos para la matriz que tienes y comprueba que dan idénticos valores propios.

Answer 2

En numérico trabajo, invertir matrices está mal visto, ya que normalmente hay métodos más eficientes disponibles. Los novatos sólo piensan que una fórmula bonita y sencilla como la solución de su ecuación de vainilla es el camino a seguir.

A razón sobre los métodos numéricos, quieres resultados limpios, utilizando fórmulas bonitas, sencillas y claras. Incluso si muchos de los datos que se van a utilizar son difíciles o imposibles de conseguir en la práctica. Sólo hay que ver la discusión sobre la convergencia de las iteraciones, en la que se empieza conociendo el punto fijo, y todo tipo de sórdidos detalles privados como las derivadas de las funciones allí y cerca.