¿Por qué la condición de que una función sea diferenciable requiere siempre un dominio abierto?

Question

Repasando el Cálculo sobre Múltiples de Spivak y en su definición de función diferenciable de un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ , $f$ se dice que es diferenciable si puede extenderse a una función diferenciable sobre un conjunto abierto que contenga $A$ .

¿Por qué? ¿Para no tener que preocuparnos de tomar los límites en los puntos límite? ¿Por qué es eso un problema? Si ese no es el problema, ¿qué hay de malo en definir $f$ sea diferenciable en $A$ si es diferenciable en cada punto de $A$ ?

Answer 1

He aquí un ejemplo motivador. Digamos que tenemos $f:[0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Cuándo debemos llamar a $f$ diferenciable en $[0,1)$ ?

En particular, cómo debemos determinar si $f$ es diferenciable en $0$ ? Aunque tengamos eso $f$ es diferenciable en $(0,1)$ y que $$\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}$$ existe, no tenemos forma de determinar nada sobre $$\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}$$ desde $f(x)$ no está definido para $x<0$ .

Podríamos decir simplemente que $f$ es diferenciable en $[0,1)$ si es diferenciable en $(0,1)$ y diferenciable por la derecha en $0$ . Sin embargo, si tomamos, por ejemplo, $f(x)=|x|$ , nos encontraríamos con que $f$ no es diferenciable en $0$ con dominio $(-1,1)$ (o cualquier intervalo abierto que contenga $[0,1)$ ), y sin embargo $f$ es diferenciable en $0$ en $[0,1)$ . Intuitivamente, $f$ debe ser diferenciable en $0$ o bien todo el tiempo o bien nunca, en lugar de sólo a veces, por lo que ésta no sería una definición muy buena.

En cambio, simplemente insistimos en que $0$ sea diferenciable de la forma habitual en $x=0$ que requiere $f$ se defina en un vecindario abierto alrededor de $0$ .

Puedes ver a dónde va esto. En general, si $f$ tiene dominio $\mathcal{D}$ queremos llamar a $f$ diferenciable siempre que $f$ es diferenciable en cada $d\in\mathcal{D}$ , lo que requiere que podamos ampliar $f$ para incluir barrios abiertos alrededor de cada $d$ .

Answer 2

Respuesta corta: el requisito de que el conjunto de dominios sea abierto no es necesario para definir la diferenciabilidad. A continuación se ofrece una respuesta más larga.

Espacios topológicos y espacios normados

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios normados sobre $\mathbb{R}$ . Las normas inducen las topologías métricas sobre $V$ y $W$ y así $V$ y $W$ también son espacios topológicos.

Dejemos que $E \subset V$ . Entonces $E$ es un espacio topológico que lleva la topología del subespacio heredada de $V$ se denomina subespacio topológico de $V$ . Es importante señalar que $E$ es un espacio topológico en sí mismo, y por lo tanto nunca se puede caer de $E$ . En concreto, toda vecindad abierta de un punto $a \in E$ es un subconjunto de $E$ . Estos barrios abiertos son exactamente las intersecciones de conjuntos abiertos de $V$ con $E$ por la definición de una topología de subespacio. Dado que $E \subset V$ puede ser tentador para la intuición verlo desde fuera como si estuviera incrustado en $V$ . Sin embargo, se obtiene una mejor intuición al imaginar que se vive en $E$ no hay forma de salir de $E$ por barrios.

No es necesario que el dominio esté abierto

Una función $f : E \to W$ es diferenciable en $p \in E$ si existe una función lineal $(D_p f) : V \to W$ tal que $$ \frac{f(x) - (f(p) + (D_p f)(x - p))}{\lVert x - p \rVert} $$ tiene un límite en $p$ igual a cero. Recordemos que un límite en un espacio topológico se define utilizando vecindades abiertas, de modo que, de nuevo, no hay manera de caer de alguna manera de $E$ .

Concluimos que la definición de diferenciabilidad no requiere $E$ sea un conjunto abierto en $V$ .

¿Y si $E = \{0\}$ ¿Dice? Entonces -por la definición de límite- cada elemento de $W$ es un límite vacío. En particular, el cero es un límite, y por lo tanto $f$ es diferenciable en $E$ . La derivada en un conjunto singular es lo que quieras que sea.

Nota 1: Para evitar confusiones, hay que tener en cuenta que $E$ es un conjunto abierto en $E$ por la definición de topología del subespacio. Esto no es lo mismo que $E$ estar abierto en $V$ .

Nota 2: Un límite en un conjunto singular muestra que el límite no es siempre único incluso en los espacios topológicos de Hausdorff.

Nota 3: La misma discusión es válida para otras formas de diferenciación, como las derivadas direccionales.

Un ejemplo interesante

Este ejemplo está adaptado de este pregunta. Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea diferenciable en $0$ . Sea $E = \{0\} \cup \{1 / n\}_{n \in \mathbb{N}^{>0}}$ . Entonces $(f|E)$ es diferenciable en $0$ y $f'(0) = (f|E)'(0)$ . Cada punto de $E$ , excepto $0$ está aislado. El $0$ es un punto de acumulación.

Otro ejemplo

Dejemos que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ sea diferenciable. Entonces $(f|\mathbb{Q}^n)$ es diferenciable, y $f'(x) = (f|\mathbb{Q}^n)'(x)$ para todos $x \in \mathbb{Q}^n$ .

Un dominio abierto es suficiente para la localidad

¿Por qué alguien requeriría el conjunto de dominios $E$ ¿se abrirá? Una respuesta es la localidad.

Dejemos que $\mathbb{R}$ estar equipado con cualquier norma. Dado que todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes, esta norma genera la topología euclidiana. Sea $E = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}$ y $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea tal que $$ f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E, \\ 0, & x \in X \setminus E. \end{cases} $$ Entonces $(f|E)$ es diferenciable, y $(f|(X \setminus E))$ es diferenciable, pero $f$ no es diferenciable, ni siquiera continua. Para poder afirmar que $f$ es diferenciable - una síntesis de los análisis localizados - necesitamos un teorema que permita pegar funciones diferenciables para formar una función diferenciable, bajo algunas condiciones.

Una condición suficiente para dicha localidad es que los dominios de las funciones sean abiertos y que las funciones coincidan en valor en los solapamientos. Sin embargo, esta condición no es necesaria para la localidad. Consideremos una función constante $f$ y sus restricciones a $E$ y $(X \setminus E) \cup \{0\}$ . Los conjuntos $E$ y $(X \setminus E) \cup \{0\}$ son ambos conjuntos no abiertos, $(f|E)$ y $(f|((X \setminus E) \cup \{0\}))$ son diferenciables, y $f$ es diferenciable.

Nota 4: El lema de pegado para funciones diferenciables es análogo al lema de pegado para funciones continuas.

Preguntas abiertas

¿Es la localidad la única razón por la que algunos exigen que el dominio sea un conjunto abierto? ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente de los conjuntos de dominios para que se cumpla el lema de encolado para funciones diferenciables?

Answer 3

El problema es que nuestra definición de diferenciabilidad en un punto requiere que la función esté definida en una vecindad abierta de ese punto. Así que, técnicamente, ni siquiera sabemos qué significa que una función sea diferenciable en un punto límite.

En este momento, no tenemos ninguna información sobre el conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ , lo cual es problemático. Naturalmente, podríamos querer definir $f:A \to \mathbb{R}^m$ sea diferenciable en $x \in A$ si existe alguna transformación lineal $Df_x$ tal que para todo $h$ donde $x+h \in A$ , $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - (f(x)+Df_x (h))}{h} = 0.$$

Pero esta definición es problemática cuando $A$ no es un $n$ -de las dimensiones. Por ejemplo, tomemos $$f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^2}$$ (con $f(0,0)=0$ ). No consideramos $f$ sea diferenciable en el origen. Pero si $A$ es cualquier línea a través del origen, encontraremos (con nuestra definición putativa anterior) que $f$ es ahora diferenciable en el origen, cuando probablemente no queramos considerarlo así.

Ahora bien, si $A$ eran un $n$ -entonces nuestra idea para definir la derivada de la función en la frontera funcionará, porque localmente en el punto de frontera, la frontera de $A$ parece un plano que corta el punto límite, y así "vemos la mitad del espacio", y la definición anterior sería equivalente a $f$ pudiendo extenderse de forma diferenciable a un conjunto abierto que contenga $A$ .