¿Por qué la distribución de Cauchy no tiene media?

Question

Desde la función de densidad de distribución podríamos identificar una media (=0) para la distribución de Cauchy tal como muestra el gráfico a continuación. ¿Pero por qué decimos que la distribución de Cauchy no tiene media?

Answer 1

Puede comprobar mecánicamente que el valor esperado no existe, pero esto debería ser intuitivo físicamente, al menos si acepta el principio de Huygens y la Ley de los Grandes Números. La conclusión de la Ley de los Grandes Números falla para una distribución de Cauchy, por lo que no puede tener una media. Si promedia $n$ variables aleatorias de Cauchy independientes, el resultado no converge a $0$ cuando $n\to \infty$ con probabilidad $1$. Permanece una distribución de Cauchy del mismo tamaño. Esto es importante en óptica.

La distribución de Cauchy es la intensidad normalizada de la luz en una línea desde una fuente de punto. El principio de Huygens dice que puede determinar la intensidad asumiendo que la luz es reemitida desde cualquier línea entre la fuente y el objetivo. Por lo tanto, la intensidad de la luz en una línea a $2$ metros de distancia se puede determinar asumiendo que la luz primero golpea una línea a $1$ metro de distancia y es reemitida en cualquier ángulo hacia adelante. La intensidad de la luz en una línea a $n$ metros de distancia se puede expresar como la convolución $n$-fold de la distribución de luz en una línea a $1$ metro de distancia. Es decir, la suma de $n$ distribuciones independientes de Cauchy es una distribución de Cauchy escalada por un factor de $n.

Si la distribución de Cauchy tuviera una media, entonces el percentil $25$ de la convolución $n$-fold dividido por $n$ debería converger a $0$ por la Ley de los Grandes Números. En cambio, permanece constante. Si marca el percentil $25$ en una línea (transparente) a $1$ metro de distancia, $2$ metros de distancia, etc. entonces estos puntos forman una línea recta, a $45$ grados. No se doblan hacia $0.

Esto te informa sobre la distribución de Cauchy en particular, pero deberías conocer la prueba integral porque hay otras distribuciones sin media que no tienen una clara interpretación física.

Answer 2

Respuesta agregada en respuesta al comentario de @whuber en la respuesta de Michael Chernicks (Y reescrito por completo para eliminar el error señalado por whuber.)

Se dice que el valor de la integral para el valor esperado de una variable aleatoria de Cauchy está indefinido porque el valor puede ser "hecho" para ser cualquier cosa que se desee. La integral $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ (interpretada en el sentido de una integral de Riemann) es lo que comúnmente se llama una integral impropia y su valor debe ser calculado como un valor límite: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_1\to-\infty}\lim_{T_2\to+\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ o $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_2\to+\infty}\lim_{T_1\to-\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ y por supuesto, ambas evaluaciones deberían dar el mismo valor finito. De lo contrario, se dice que la integral está indefinida. Esto muestra inmediatamente por qué la media de la variable aleatoria de Cauchy se dice que es indefinida: el valor límite en el límite interno diverge.

El valor principal de Cauchy se obtiene como un único límite: $$\lim_{T\to\infty} \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ en lugar de la doble limitación anterior. El valor principal de la integral de esperanza es fácilmente visto como $0$ ya que el límite tiene valor $0$ para todos los $T$. Pero esto no puede usarse para decir que la media de una variable aleatoria de Cauchy es $0$. Es decir, la media se define como el valor de la integral en el sentido habitual y no en el sentido del valor principal.

Para $\alpha > 0$, considera en su lugar la integral $$\begin{align} \int_{-T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx &= \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx + \int_{T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\\ &= 0 + \left.\frac{\ln(1+x^2)}{2\pi}\right|_T^{\alpha T}\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1+\alpha^2T^2}{1+T^2}\right)\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{\alpha^2+T^{-2}}{1+T^{-2}}\right) \end{align}$$ que se acerca a un valor límite de $\displaystyle \frac{\ln(\alpha)}{\pi}$ cuando $T\to\infty$. Cuando $\alpha = 1$, obtenemos el valor principal $0$ discutido anteriormente. Por lo tanto, no podemos asignar un significado inequívoco a la expresión
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ sin especificar cómo se acercaron los dos infinitos, y ignorar este punto conduce a todo tipo de complicaciones resultados incorrectos porque las cosas no siempre son lo que parecen cuando la esencia del valor principal se disfraza como la crema del valor. Esto es por qué se dice que la media de la de Cauchy variable aleatoria se dice que es indefinida en lugar de tener valor $0$, el valor principal de la integral.

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Si uno está usando el enfoque de teoría de la medida para probabilidad y la integral de valor esperado es definida en el sentido de una integral de Lebesgue, entonces el problema es más simple. $\int g$ existe solo cuando $\int |g|$ es finito, y por lo tanto $E[X]$ es indefinido para una variable aleatoria de Cauchy $X$ ya que $E[|X|]$ no es finito.

Answer 3

Mientras que las respuestas anteriores son explicaciones válidas de por qué la distribución de Cauchy no tiene una esperanza, encuentro que el hecho de que la razón $X_1/X_2$ de dos variables normales $\mathcal{N}(0,1)$ independientes sea Cauchy es igualmente esclarecedor: de hecho, tenemos $$ \mathbb{E}\left[ \frac{|X_1|}{|X_2|} \right] = \mathbb{E}\left[ |X_1| \right] \times \mathbb{E}\left[ \frac{1}{|X_2|} \right] $$ y la segunda esperanza es $+\infty$.

Answer 4

La distribución de Cauchy no tiene media porque el punto que se selecciona (0) no es una media. Es una mediana y una moda. La media para una distribución absolutamente continua se define como $\int x f(x) dx$ donde $f$ es la función de densidad y la integral se toma sobre el dominio de $f$ (que es de $-\infty$ a $\infty$ en el caso de la distribución de Cauchy). Para la densidad de Cauchy, esta integral simplemente no es finita (la mitad de $-\infty$ a $0$ es $-\infty$ y la mitad de $0$ a $\infty$ es $\infty$).

Answer 5

La distribución de Cauchy se piensa mejor como la distribución uniforme en un círculo unitario, por lo que sería sorprendente si el promedio tuviera sentido. Supongamos que $f$ fuera algún tipo de "función de promediado". Es decir, supongamos que, para cada subconjunto finito $X$ del círculo unitario, $f(X)$ era un punto del círculo unitario. Claramente, $f$ tiene que ser "innatural". Más precisamente, $f$ no puede ser equivariante con respecto a las rotaciones. Para obtener la distribución de Cauchy en su forma más habitual, pero menos reveladora, proyecte el círculo unitario sobre el eje x desde (0,1), y use esta proyección para transferir la distribución uniforme en el círculo al eje x.

Para entender por qué la media no existe, piense en x como una función en el círculo unitario. Es bastante fácil encontrar un número infinito de arcos disjuntos en el círculo unitario, de manera que, si uno de los arcos tiene longitud d, entonces x > 1/4d en ese arco. Por lo tanto, cada uno de estos arcos disjuntos contribuye más de 1/4 a la media, y la contribución total de estos arcos es infinita. Podemos hacer lo mismo nuevamente, pero con x < -1/4d, con una contribución total menos infinito. Estos intervalos podrían mostrarse con un diagrama, ¿pero se pueden hacer diagramas para Cross Validated?