campo de las fracciones de $k[x^2,xy,y^2]$

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, entonces quiero saber cómo calcular el campo de fracciones de $k[x^2,xy,y^2]$ , tenga en cuenta que por esta pregunta , $k[x^2,xy,y^2]$ es isomorfo a $k[x,y,z]/(x^2-yz)$ .

Gracias por las respuestas.

Answer 1

$R=k[x^2,xy,y^2]$ es un subring de un anillo polinómico $k[x,y]$ . Por lo tanto, el campo de fracciones $F$ de $R$ puede considerarse un subcampo de $k(x,y)$ el campo de las funciones racionales de dos variables. Con esta identificación, $F=k(x^2,y/x)$ que es un subcampo propio de $k(x,y)$ pero también es isomorfo a $k(x,y)$ .

Sí, es cierto, $F$ es el campo fijo del automorfismo $\sigma$ de $k(x,y)$ definido por $\sigma(x)=-x$ y $\sigma(y)=-y$ . Por lo tanto, $|k(x,y):F|=2$ .