Dejemos que $x$ sea cualquier solución de una ecuación de la forma $x^2 + ax + b = 0$ , donde $a$ y $b$ son números enteros.
Definimos cualquier conjunto/anillo particular $\textbf Z[x]$ para ser todos los números de la forma $c + dx$ , donde $c$ y $d$ son números enteros. Observamos que hay dos $x$ 's. Sé por experiencia que al añadir uno a los números enteros automáticamente aparece el otro, ya que las dos soluciones están relacionadas por la ecuación $x = -a - x'$ . Esto nos lleva a la definición del conjugado para esta colección arbitraria de "Anillos Cuadráticos", cada uno de los cuales está formado por "Enteros Cuadráticos".
Definición: El conjugado de un entero cuadrático $z = c + dx$ es $\bar{z} = c - d(a+x)$
La multiplicación de cualquier elemento y su conjugado es la norma del entero cuadrático. Esto se formaliza a continuación.
Definición: La norma de un entero cuadrático $z = c + dx$ es $N(z) = z\bar{z} = c^2 - cda - axd^2 - d^2x^2$ .
^^ Por suerte he hecho bien la multiplicación.
Así que esto me lleva a una conjetura basada en una pregunta anterior que tenía que era para el caso de $\textbf Z[\sqrt{3}]$ :
Conjetura: Si existen enteros cuadráticos $z$ y $y$ y un número entero ordinario $c$ , de tal manera que $N(z) = N(y)c$ entonces existe un entero cuadrático $w$ tal que $N(w) = c$ .
Busco una prueba de la conjetura que no sea demasiado compleja. El rigor está bien y la formalidad también. El problema es que no tengo muchos conocimientos de teoría algebraica de números. Principalmente sé de enteros de conjuntos racionales (como $\textbf Q[x]$ ), los dominios euclidianos, la aritmética modular y lo que hay en esta pregunta. Así que principalmente pensando que esta pregunta tiene que ver con la resolución de ecuaciones o la factorización, pero no puedo poner el dedo en la llaga. No veo ninguna razón para que no sea cierta en el caso general, pero si no lo es me gustaría que alguien pudiera decir cuándo es cierta y quizás demostrar ese caso particular.
Además, soy consciente de que las operaciones de norma y conjugación se distribuyen a través de la multiplicación. Más allá de eso, nunca he mirado más allá de la $\textbf Z[\sqrt{3}]$ en este riguroso sentido.
