¿Cómo analizar la evolución de u a través de diferentes valores?

Question

Para la parte (d) de la siguiente pregunta debo mirar la versión integrada de la ecuación en parte (a) para ver cómo $u$ evoluciona, es decir, toma los límites de $s$ o tiene sentido mirar sólo la ecuación en parte (a) es decir, el cambio en $u$ con respecto a $\tau$ .

Además, ¿se está tomando el límite de $s$ ¿el camino correcto a seguir? Si no es así, ¿cuál es el camino correcto para resolver esta cuestión?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para la parte (d), cuando la señal de activación es $0$ (por ejemplo $s= 0$ ), entonces la oda toma la forma: \begin {Ecuación} \frac {du}{d \tau } = - ru + \frac {u^2}{1+u^2} \end {Ecuación} Obsérvese que como $u(0) = 0$ Esto significa que $\frac{du}{d\tau} = 0$ Así que $u(\tau) = 0$ para todos $\tau$ dado $s = 0$ .

Ahora, la pregunta quiere aumentar lentamente $s$ Así que $s>0$ . En algún momento anterior, entonces podemos aproximar $u \approx 0$ dando: \begin {Ecuación} \frac {du}{d \tau } \approx s > 0 \end {ecuación} Esto implica $u(\tau) > 0$ al menos durante algún tiempo después $s>0$ . A continuación, la pregunta quiere saber si $u(\tau)$ revierte volver a $0$ una vez que la señal de activación ha desaparecido, por ejemplo $s \rightarrow 0$ . Obsérvese que esto nos devuelve: \begin {Ecuación} \frac {du}{d \tau } = - ru + \frac {u^2}{1+u^2} \end {Ecuación} Sin embargo, Esta vez $u(\text{initial}) = u(\text{immediately after signal is gone}) > 0$ . Esta vez, tendrás que encontrar la estabilidad del equilibrio $u^* = 0$ . Para ello, diferenciamos $f(u) = -ru + \frac{u^2}{1+ u^2}$ para obtener: \begin {Edición} f'(u) = -r + \frac {2u}{1+u^2} \end {Ecuación} En el equilibrio entonces, $f'(u^*) = -r$ Por lo tanto $u^*$ es localmente estable asintóticamente. Esto significa que $u$ todavía volvería a $0$ una vez que la señal de activación ha desaparecido.