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Desigualdad de potencia del rango numérico

Dejemos que $A\in{\mathbb C}^{n,n}$ ser un $n\times n$ matriz y $\omega(A) := \sup\left\{|x^HAx|\,\,\middle|\,\,\|x\|_2=1,\,x\in \mathbb C^n\right\}$ el rango numérico de $A$ .


Hay una prueba elemental de Carl Pearcy $^{[1]}$ que si $\omega(A)\leq 1$ entonces se deduce que $\omega(A^n) \leq [\omega(A)]^n$ .

Afirma que por la propiedad $\omega(\lambda A) = |\lambda|\omega(A)$ basta con demostrar que $\omega(A^n) \leq 1$ .

Continúa demostrando $\omega(A^n)\leq 1$ y afirmando que el teorema se sigue.

Mi problema es que no veo por qué $[\omega(A)]^n$ debería ser un límite superior para $\omega(A^n)$ . Que $[\omega(A)]^n \leq 1$ es trivial.


1] "Una demostración elemental de la desigualdad de potencia para el radio numérico" por Carl Pearcy en 1966

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LuckyTown Puntos 36

Si todo lo anterior se mantiene, entonces definamos

$$B = \frac{A}{\omega(A)}$$

para un $A \neq 0$ .

Si $C = 0$ entonces $\omega(C)=0$ Por lo tanto $\omega(C^n)=[\omega(C)]^n=0$ .

Ahora sigue con $\omega(\lambda A) = |\lambda|\omega(A)$ que

$$\omega(B) = \omega\left(\frac{A}{\omega(A)}\right)=\frac{1}{\omega(A)}\cdot\omega(A) =1. $$

Por lo tanto, $\omega(B^n) \leq 1$ y por lo tanto sigue:

\begin {align} \omega (B^n)&= \omega\left ( \frac {A^n}{[ \omega (A)]^n} \right ) \leq 1 \\ & \Leftrightarrow \frac1 {[ \omega (A)]^n} \omega (A^n) \leq 1 \\ & \Leftrightarrow \omega (A^n) \leq [ \omega (A)]^n& \square\end {align}

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