Dejemos que $A\in{\mathbb C}^{n,n}$ ser un $n\times n$ matriz y $\omega(A) := \sup\left\{|x^HAx|\,\,\middle|\,\,\|x\|_2=1,\,x\in \mathbb C^n\right\}$ el rango numérico de $A$ .
Hay una prueba elemental de Carl Pearcy $^{[1]}$ que si $\omega(A)\leq 1$ entonces se deduce que $\omega(A^n) \leq [\omega(A)]^n$ .
Afirma que por la propiedad $\omega(\lambda A) = |\lambda|\omega(A)$ basta con demostrar que $\omega(A^n) \leq 1$ .
Continúa demostrando $\omega(A^n)\leq 1$ y afirmando que el teorema se sigue.
Mi problema es que no veo por qué $[\omega(A)]^n$ debería ser un límite superior para $\omega(A^n)$ . Que $[\omega(A)]^n \leq 1$ es trivial.
1] "Una demostración elemental de la desigualdad de potencia para el radio numérico" por Carl Pearcy en 1966