Demostrando que $\sqrt{1+z^2} - zx$ = $\sqrt{1-x^2}$ para $z = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Question

Actualmente estoy tratando de entender un artículo en el que se calculó una transformada de Fourier por el principio de fase estacionaria. Cuando hago los pasos termino con una expresión muy cercana a la del autor, pero el autor se las arregla para simplificar aún más la solución.

Para que mi solución coincida con la del autor tendría que demostrar que

$\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ = $\sqrt{1-x^2}$

No he conseguido manipular el RHS para que sea igual al LHS y WolframAlpha tampoco me ha ayudado.

Llevo un par de días atascado con esta fórmula en particular, así que agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

El dominio que es $1-x^2>0$ y obtenemos: $$\sqrt{1+z^2}-zx=\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=$$ $$=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-x^2}$$

Answer 2

Esto no es tan difícil.

Reducir al común denominador bajo la raíz cuadrada y el numerador es $1$ . Entonces, sumando los dos términos, se obtiene la relación $1-x^2$ y su raíz cuadrada.

Answer 3

WLOG $\arcsin x=t\implies-\dfrac\pi2\le x\le \dfrac\pi2$

y $ x=\sin t,\sqrt{1-x^2}=\cos t$

$$\sqrt{1+z^2}=z\sin t+\cos t$$

$$\iff\dfrac1{\sqrt{1+z^2}}\cos t+\dfrac z{\sqrt{1+z^2}}\sin t=1$$

Establecer $\arctan z=u,z=\tan u\implies\dfrac z{\sin u}=\dfrac1{\cos u}=\pm\sqrt{\dfrac{1^2+z^2}{\sin^2u+\cos^2u}}$

Teniendo en cuenta el signo "+", $$\cos\left(t-u\right)=1$$

$$\implies t-u=2n\pi$$

$$z=\tan u=\tan t=?$$