$K$ es una base para $W$ y $L$ es una base para $U$ . Es $K\cup L$ es una base para $U + W$ ?

Question

Pregunta: $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ , $U,W$ son subespacios de $V$ . ¿La siguiente afirmación es verdadera o falsa? " $K$ es una base para $W$ y $L$ es una base para $U$ . Por lo tanto, $K\cup L$ es una base para $U + W$ ".

Lo que hice: (He "probado" que es verdad. El libro dice que es falso)

$K \cup L$ es una unión de dos grupos lineales independientes, y por lo tanto es linealmente independiente. Marcamos: $$K = \{ v_1, ... , v_n, w_1, ... , w_k \} \ ; \ L=\{ v_1, ... , v_n, u_1, ... , u_l \} \ ; \\ K\cup L = \{ v_1, ... , v_n, w_1, ... , w_k,u_1,...,u_l \}$$ Por lo tanto, para cada $u\in U, w\in W$ : $$w = a_1v_1 + ... + a_nv_n + a'_1w_1 +...+ a'_kw_k\\ u=a_1v_1 + ... + a_nv_n + a'_1u_1 +...+ a'_lu_l\\ w + u= a_1v_1 + ... + a_nv_n + a'_1w_1 +...+ a'_kw_k + b_1v_1 + ... + b_nv_n + b'_1u_1 +...+ b'_lu_l = (a_1+b_1)v_1 + ... + (a_n+b_n)v_n + a'_1w_1 +...+ a'_kw_k+ b'_1u_1 +...+ b'_lu_l$$ Tenga en cuenta que: $$\text{span}\{K \cup L\}= c_1v_1 +...+c_nv_n +c'_1w_1 +...+c'_kw_k +c''_1u_1+...+c''_1u_l$$ Por lo tanto, para $c_h=(a_h+b_h)\ , \ c'_i=a_i \ , \ c''_j=b_j$ : $$\text{span}\{K \cup L\} = w + u$$ Por lo tanto, $K\cup L$ es una base para $U + W$

Answer 1

Afirmas que la unión de dos conjuntos linealmente independientes es linealmente independiente. Esto es falso. Por ejemplo, dejemos que $V=F=\Bbb{R}$ . Entonces $\{1\}$ y $\{2\}$ son ambos linealmente independientes, pero $\{1,2\}$ no lo es.

Answer 2

Para otro contraejemplo supongamos que $U,V\leq \mathbb R^4$ tal que $$U=\langle (1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)\rangle,~V=\langle (1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3)\rangle $$ Se puede demostrar fácilmente que $\dim(U+V)=3\neq6$ .