Convergencia de la serie con suma de senos en el denominador

Question

¿Converge esta serie?

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sin 1 + \sin 2 + \ldots + \sin n} $$

¿Qué prueba tengo que utilizar para ello?

Answer 1

Tenemos : $$ \sin(1)+\sin(2)+\ldots+\sin(n) = \text{Im}\sum_{j=1}^{n}e^{ji} = \frac{\sin\left(\frac{n}{2}\right)\sin\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)}\tag{1}$$ por lo tanto: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sin(1)+\sin(2)+\ldots+\sin(n)}=2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)}\tag{2}$$ pero como la secuencia dada por $a_n = \exp\left(\frac{i}{2}+in\right)$ es denso en el círculo unitario, el término general de nuestra serie ni siquiera está acotado, por lo que la serie no puede ser convergente. Una prueba alternativa, siguiendo el comentario de Kelenner más abajo, viene de notar que $\left|\frac{1}{\sin(1)+\sin(2)+\ldots+\sin(n)}\right|\geq\sin\left(\frac{1}{2}\right).$