Distribución de la suma de variables aleatorias independientes

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes que toman valores en $[0,1]$ donde $X$ es uniforme. La pregunta es, ¿qué distribución en $Y$ dará lugar a una distribución uniforme en $[0,2]$ para la suma $Z=X+Y$ ?

De alguna manera, por inspección, ya que la distribución de la suma es $F_Z(z)=\int F_Y(z-x)\,dF_X(x)$ Me he dado cuenta de que $Y=0$ o $1$ con prob. $1/2$ cada obra.

¿Hay alguna forma intuitiva de adivinar la respuesta?

Answer 1

Intuitivamente $Y$ debe ser simétrica si $X$ y $Z$ son.

Intuitivamente $Y$ no puede tomar valores mayores que $1$ o menos de $0$ como $Z$ podría entonces estar fuera $[0,2]$ .

Intuitivamente $Y$ no puede tomar valores en el intervalo abierto $(0,1)$ como si lo hiciera en o cerca de un valor $y$ entonces la densidad de $Z$ en $(y,y+\delta y)$ sería mayor que la densidad de $Z$ en $(0,\delta y)$ .

Así que su resultado es la respuesta intuitiva, y se extiende fácilmente a $Z$ uniforme en $[k,k+n]$ para los enteros $n$ y muestra por qué $Z$ no puede ser uniforme en un intervalo que no tenga una longitud entera.

Answer 2

Obsérvese que la función generadora de momentos de tal $Y$ si existe es $\text{E}(\exp t Z)/\text{E}( \exp tX) = \frac{1}{2}\frac{\exp 2t - 1}{\exp t - 1} = \frac{1}{2}\left( \exp t + 1 \right)$ que es la función generadora de momentos de una variable aleatoria que tiene masas puntuales iguales en $\{0,1\}$ .